Histogram en steel-bladdiagram (H6.3) - G&R 12de - VWO 2

     ( Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H6. Procenten en diagrammen)

H6.3 Histogram en steel-bladdiagram

(Opgave 36, 37, 39, 41, 44)

Opgave 36.

a.

→ Het bovenstaande histogram geeft gegevens over het aantal auto's dat per minuut een parkeergarage binnenrijdt.

• 1 keer 9 auto's per minuut + 2 keer 10 auto's per minuut + 1 keer 12 auto's per minuut = 4 keer dat er meer dan acht auto's per minuut binnenreden.

b.

→ 9 + 5 + 7 + 5 + 8 + 10 + 6 + 4 + 3 + 1 + 2 + 1 = 61 minuten

c.

→ (5 × 1) + (7 × 2) + (5 × 3) + (8 × 4) + (10 × 5) + (6 × 6) + (4 × 7) +(3 × 8) + (1 × 9) + (2 × 10) + (1 × 12) = 5 + 14 + 15 + 32 + 50 + 36 + 28 + 24 + 9 +20 + 12 = 245 auto's

d.

→ Het aantal keren dat er minder dan vijf auto's per minuut binnen kwamen = 9 + 5 + 7 + 5 + 8 = 34 

→ Percentage keren dat er minder dan vijf auto's per minuut binnen kwamen = 34 ÷ 61 × 100% = 55,7%

Opgave 37.

a.

→ Meneer Braamhaar heeft in een periode bijgehouden hoeveel verkeerslichten per dag op rood stonden.

→ "De frequentie van het waarnemingsgetal 5 is 6" betekent dat in de periode het aantal dagen waarop er 5 verkeerslichten op rood stonden, 6 is.

b.

→ Het aantal dagen dat meneer Braamhaar meer dan zes keer voor een verkeerslicht wacht = 6 + 1+ 1 = 8

c.

→ 4 + 4 + 6 + 8 + 6 + 1 + 1 = 30 dagen

→ Het aantal werkdagen per week is 5.

→ 30 dagen ÷ 5 = 6 weken

d.

→ Dat in de bovenste regel van de frequentietabel de getallen 0, 1 en 2 niet voorkomen betekent dat meneer Braamhaar in de periode elke dag meer dan 2 keer voor een verkeerslicht moest wachten.

e.

f.

→ (3 × 4) + (4 ×4 ) + (5 × 6) + (6 × 8) + (7 × 6) + (8 × 1) + (9 × 1) = 165 keer

Opgave 39

a.

• 17 twee keer
• 21 twee keer
• 23 drie keer
• 28 nul keer

b.

→ De hoogst behaalde score is 41.

c.

→ Aantal leerlingen die de test hebben gemaakt = 3 + 6 + 6 + 3 + 2 = 20

Opgave 41.

a.

→ Als je aan de mannenkant het aantal telt: 14 beroepen.

→ Als je aan de vrouwenkant het aantal telt: 14 beroepen.

→ In het steel-bladdiagram is het uurloon verwerkt van 14 beroepen.

b.

→ Bij mannen worden de beroepen van office-manager en arbeidsbemiddelaar gelijk betaald.

→ In het diagram aan de mannenkant zie je bij tienden hetzelfde getal bij twee beroepen met 12 eenheden. Dat is 0.

→ Het gemiddelde uurloon van mannen bij de beroepen van office-manager en arbeidsbemiddelaar is  € 12,00 per uur. 

c.

→ Bij de meeste beroepen verdienen mannen meer dan vrouwen. Zo verdient een mannelijke werkvoorbereider per uur € 0,60 meer dan zijn vrouwelijke collega.

→ Het verschil van € 0,60 tussen uurloon voor mannen en uurloon voor vrouwen zie je in 2 gevallen:

• Eerste geval:  uurloon € 14,80 voor mannen en uurloon € 14,10 voor vrouwen
• Tweede geval: uurloon € 14,20 voor mannen en uurloon € 13,60 voor vrouwen

• € 13,60 + € 0,60 =  € 14,20 
• € 14,10 + € 0,60 =  € 14,70 

→ Het uurloon van een mannelijke werkvoorbereider is € 14,20 of € 14,70.

d.

→ Zoek eerst hetzelfde getal bij de tienden bij mannen en vrouwen.

→ Daarna kijk je of het verschil tussen de twee getallen bij de eenheden met hetzelfde getal bij de tienden bij mannen en vrouwen, 5 is.

→ Het uurloon van een vrouwelijk hoofd facilitaire dienst is € 19,80 per uur. 

e.

→ Het aantal beroepen waarbij een vrouw in een week van 36 uur minder dan 525 euro verdient:

• Het weekloon van een vrouw die € 14,80 per uur verdient is  € 14,80 × 36 = 532,8 euro
• Het weekloon van  een vrouw die € 14,10 per uur verdient is  € 14,10 × 36 = 507,6 euro
• Het aantal beroepen waarbij een vrouw in een week minder dan 525 euro verdient is 10.

→ Het percentage van de in het diagram verwerkte beroepen die voor een vrouw in een week minder dan 525 euro opleveren = 10 ÷ 14 ×100% ≈ 71,4% (rond procenten af op één decimaal).

Opgave 44.

a.

b.

c.

→  Het aantal leerlingen die minder dan 15 kwartier aan het huiswerk besteed hebben, is 1 + 4 + 5 = 10

→ Het ootale aantal leerlingen van klas V2C is 1 + 4 + 5 + 7 + 5 + 2 + 3 = 27

→ Het percentage van de leerlingen die minder dan 15 kwartier aan het huiswerk besteed hebben = 10 ÷ 27 × 100% ≈ 37,0% (rond procenten af op één decimaal).

d.

→ 6 uur is 4 kwartier × 6 = 24 kwartier

→ Het aantal leerlingen die meer dan 24 kwartier aan het huiswerk besteed hebben, is 2 + 3 = 5

→ Het totale aantal leerlingen van klas V2C is 1 + 4 + 5 + 7 + 5 + 2 + 3 = 27

→ Het percentage van de leerlingen die meer dan 24 kwartier (= 6 uur) aan het huiswerk besteed hebben = 5 ÷ 27 × 100% ≈ 18,5% (rond procenten af op één decimaal).

Diagrammen (H6.2) - G&R 12de - VWO 2

     ( Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H6. Procenten en diagrammen)

H6.2 Diagrammen

(Opgave 21, 23, 25, 28, 29)

Opgave 21.

a.

b.

→ De twee achtereenvolgende dagen waarop het verschil tussen de maximumtemperaturen het grootst was zijn 28 en 29 augustus. Het verschil is 6 graden.

c.

→ We spreken van een zomerse dag als de maximumtemperatuur 25 ºC of hoger is.

→ Het aantal zomerse dagen is 10.

→ Het percentage zomerse dagen in de periode van 13 tot en met 31 augustus 2016 wordt berekend als volgt:

• Het totaal aantal dagen in de periode is 19.
• Het aantal zomerse dagen in de periode is 10.
• Percentage zomerse dagen in de periode = (10 ÷ 19) × 100% ≈ 52,6% (rond procenten af op één decimaal). 

d.

→ Bij een hittegolf gaat het om vijf achtereenvolgende zomerse dagen, waarvan er minstens drie tropisch zijn. We spreken van een tropische dag als de maximumtemperatuur 30 ºC of hoger is.

→ Ja, er was een hittegolf in de periode van 13 t/m augustus 2016. Van 23 t/m 28 augustus 2016 waren er zes achtereenvolgende zomerse dagen én waren er vier dagen met een maximumtemperatuur hoger dan 30ºC.

Opgave 23.

a.

→ Het aantal bezoekers van het Rijksmuseum in 2016 was 2,26 miljoen. 

→ Het aantal bezoekers van het Van Gogh Museum in 2016 was 2,08 miljoen.

→ Het Rijksmuseum trok in 2016 0,18 miljoen meer bezoekers dan het Van Gogh Museum.

→  0,18 miljoen als percentage van 2,08 miljoen = (180 000 ÷ 2 08 000) × 100 % ≈ 8,7 % (rond procenten af op één decimaal)

→ Het Rijksmuseum trok in 2016 8,7% meer bezoekers dan het Van Gogh Museum.

b.

→ Het aantal bezoekers van Diergaarde Blijdorp in 2016 was 1,51 miljoen. 

→ Het aantal bezoekers van de Zaanse Schans in 2016 was 1,85 miljoen.

→ Diergaarde Blijdorp trok in 2016 0,34 miljoen minder bezoekers dan de Zaanse Schans.

→ 0,34 miljoen als percentage van 1,85 miljoen = (340 000 ÷ 1 850 000) × 100 % ≈ 18,4 % (rond procenten af op één decimaal)

→ Diergaarde Blijdorp trok in 2016 18,4% minder bezoekers dan Zaanse Schans.

c.

→ In 2016 werd de Zaanse Schans door 1,5 miljoen buitenlandse toeristen bezocht.

→ Aantal Nederlandse bezoekers Zaanse Schans in 2016 = totale aantal bezoekers Zaanse Schans in 2016 – aantal buitenlandse toeristen Zaanse Schans in 2016 = 1,85 miljoen – 1,5 miljoen = 0,35 miljoen

→ Percentage Nederlandse bezoekers Zaanse Schans = 0,35 miljoen ÷ 1,85 miljoen × 100% ≈ 18,9%

d.

→ Het aantal bezoekers van de Efteling is 4,76 miljoen.

→ In 2016 maakte de Efteling een winst van 22,4 miljoen euro.

→ Gemiddelde winst per bezoeker in 2016 = 22,4 miljoen ÷ 4,76 miljoen ≈ 4,71 euro per bezoeker (rond geldbedragen af op centen)

Opgave 25.

a.

→ 'Per hoofd van de bevolking' betekent 'gemiddelde verbruik per persoon'

b.

→ Het theeverbruik in 1970 per hoofd van de bevolking was 630 gram.

c.

• Theeverbruik in 2010 :  740 gram
• Theeverbruik in 2000 :  780 gram

→ Het theeverbruik per hoofd van de bevolking in 2010 was 40 gram minder dan in 2000.

→ 40 gram ÷ 780 gram × 100% = 5,1%

  

d.

→ Volgens het lijndiagram was de theeconsumptie per hoofd van de bevolking 720 gram in 1997,5. De lijn loopt naar boven tot het jaar 2000, daardoor er in 1998 meer theeconsumptie per hoofd van de bevolking was dan 720gram. 

→ Rob heeft het dus fout.

e.

→ Van 8 gram thee wordt gemiddeld 1 liter thee gezet.

→ In 1980 was het theeverbruik per hoofd van de bevolking 660 gram.

→ 660 ÷ 8 = 82,5 

→ 82,5 liter thee werd in 1980 per hoofd van de bevolking gedronken.

 

f.

→ Van 8 gram thee wordt gemiddeld 1 liter thee gezet. De inhoud van een theeglas is 0,2 liter.

→ In 2015 was het theeverbruik per hoofd van de bevolking 710 gram.

→ 710 ÷ 8 = 88,75 

→ Met 710 gram thee wordt gemiddeld 88,75 liter thee gezet.

→ 88, 75 ÷ 0,2 = 443,75 

→ In 2015 werden 443,75 glazen thee per hoofd van de bevolking gedronken.

→ Een jaar bevat 365 dagen. 443,75 ÷ 365 ≈ 1,2 (rond af op één decimaal)

→ In 2015 dronk de Nederlander per dag gemiddeld 1,2 glazen thee.

g.

→ In 2015 werden 443,75 glazen thee per hoofd van de bevolking gedronken.

→ In 2015 telde Nederland 16,9 miljoen inwoners.

→ 443,75 × 16,9 miljoen ≈ 7,5 miljard 

→ In 2015 dronken alle Nederlanders samen 7,5 miljard glazen thee.

Opgave 28.

a.

b.

→ Jan besteedt 8 uur en 50 minuten (= 530 minuten) aan slapen op een doordeweekse dag.

→ 530 ÷ 1440 × 100% ≈ 36,8%

→ Jan besteedt 36,8% van de tijd aan slapen op een doordeweekse dag.

Opgave 29.

a.

→ 16,0% ×17,6 miljoen = 2 816 000 

b.

→ 1 730 000 ÷ 17 600 000 ×100%  ≈ 9,8%

→ In 2016 werd 9,8% van de binnenlandse vakanties in Noord-Holland doorgebracht.

c.

→ 1 410 000 ÷ 17 600 000 ×100% ≈ 8,0%

→ 1 410 000 ÷ 17 600 000 × 360º ≈ 29º

→ De hoek die bij de sector Zuid-Holland hoort is 29º.

d.

→ 100% – (2,1 + 7,6 + 10,0 + 8,9 + 3,1 + 16,0 + 3,0 + 9,8 + 8,0 +7,8 + 11,9)% = 100% – 88,2% = 11,8 %

→ 11,8 ÷ 100 × 360º ≈ 42º

→ De hoek die bij de sector Limburg hoort is 42º.

Rekenen met procenten (H6.1) - deel 2- G&R 12de - VWO 2

    ( Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H6. Procenten en diagrammen)

H6.1 Rekenen met procenten - deel 2

(Opgave 10, 14, 15, 17, 18)

Opgave 10.

a.

→ 12½% = ⅛ 

→ Nieuwe prijs fiets = 840 euro – (afname = oude prijs fiets × 12½%) = 840 – 840 × ⅛ = 840 – 105 = 735 euro

b.

→ 11¹∕₉ % = ¹∕₉  ⇨ 22²∕₉% = 2 × 11¹∕₉ % = 2 × ¹∕₉

→ Nieuwe prijs T-shirt = 36 euro + (toename = oude prijs T-shirt × 22²∕₉% ) = 36 + 36 × 2 × ¹∕₉ = 36 + 8 = 44 euro

c.

→ 14²∕₇% = ⅐ 

→ Oude prijs broek × ⅐ = 20 euro

• Vermenigvuldig beide zijden met 7
• Oude prijs broek × ⅐ × 7 = 20 × 7
• Oude prijs broek = 20 euro × 7 = 140 euro  

→ Nieuwe prijs broek = oude prijs broek – (afname = oude prijs broek × 14²∕₇%) = 140 – 140 × ⅐ = 140 – 20 = 120 euro

Opgave 14.

a.

→ De absolute toename van het aantal elektrische bromfietsen is 165.

→ Relatieve toename aantal elektrische bromfietsen = (toename ÷ oud) × 100%

• Aantal elektrische bromfietsen in 2015 = Aantal elektrische bromfietsen in 2016 – absolute toename = 3775 – 165 = 3610 
• Relatieve toename = (165 ÷ 3610) × 100% ≈ 4,6% (rond procenten af op één decimaal)

b.

→ Oude aantal leerlingen = 613 + 621 =1234

→ Nieuwe aantal meisjes = oude aantal meisjes + 11 = 621 + 11 = 632

→ Nieuwe aantal leerlingen = 598 + 632 = 1230

→ Relatieve afname = (afname ÷ oud) × 100%

• Relatieve afname = {(1234 – 1230) ÷ 1234} × 100% = (4 ÷ 1234) × 100% ≈ 0,3% (rond procenten af op één decimaal)

c.

Stap1. Bereken eerst de gemiddelde prijs van een nieuwe fiets in 2015.

• Het aantal verkochte nieuwe fietsen is 983 000 en de omzet daarvan is 899 miljoen.
• Gemiddelde prijs nieuwe fiets in 2015 = omzet in 2015 ÷ aantal verkochte nieuwe fietsen in 2015 = 899 000 000 ÷  983 000 ≈ 914,55 euro

Stap2. Bereken de gemiddelde prijs van een nieuwe fiets in 2016.

• Het aantal verkochte nieuwe fietsen is 5,6% minder.
• Absolute afname verkochte nieuwe fietsen = aantal verkochte nieuwe fietsen in 2015 × 5,6% = 983 000 × 0,056 = 55 048
• Aantal verkochte nieuwe fietsen in 2016 = aantal verkochte nieuwe fietsen in 2015 – afname = 983 000 – 55 048 = 927 952
• De omzet in 2016 is 4,2% meer.
• Absolute toename omzet in 2016 = omzet in 2015 × 4,2% = 899 000 000 × 0,042 = 37 758 000
• Omzet in 2016 = omzet in 2015 + toename omzet = 899 000 000 + 37 758 000 = 936 758 000
• Gemiddelde prijs nieuwe fiets in 2016 = omzet in 2016 ÷ aantal verkochte nieuwe fietsen = 936 758 000 ÷ 927 952 ≈ 1009,49 euro

Stap3. Bereken de absolute toename van de gemiddelde prijs van een nieuwe fiets.

• Gemiddelde prijs in 2016 – gemiddelde prijs in 2015 = 1009,49 – 914,55 = 94,94 euro

Stap 4. Bereken de percentuele toename van de gemiddelde prijs van een nieuwe fiets in 2016.

• Procentuele toename = (toename ÷ gemiddelde prijs in 2015) × 100% = (94,94 euro ÷ 914,55 euro) × 100% ≈ 10,4% (rond procenten af op één decimaal)

Opgave 15.

a.

→ Het aantal incidenten met wielrenners is sinds 2010 verdubbeld.

• Percentuele toename = (toename ÷ oud) × 100%
• Nieuwe aantal incidenten = 2 × oude aantal incidenten  ← omdat het aantal incidenten verdubbeld is.
• Toename in aantal = nieuwe aantal incidenten – oude aantal incidenten = (2 × oude aantal incidenten) – oude aantal incidenten = oude aantal incidenten(2 – 1) = oude aantal incidenten  
• Percentuele toename = (toename ÷ oud) ×  100% = {oude aantal incidenten ÷ oude aantal incidenten} × 100% = 1 × 100% = 100%

→ De percentuele toename is 100%.

b.

→ Het aantal verkeersslachtoffers is het afgelopen jaar verdrievoudigd.

• Percentuele toename = (toename ÷ oud) × 100%
• Nieuwe aantal verkeersslachtoffers = 3 × oude aantal verkeersslachtoffers  ← omdat het aantal verkeersslachtoffers verdrievoudigd is.
• Toename in aantal = nieuwe aantal verkeersslachtoffers – oude aantal verkeersslachtoffers = (3 × oude aantal verkeersslachtoffers) – oude aantal incidenten = oude aantal incidenten(3 – 1) = 2 × oude aantal verkeersslachtoffers 
• Percentuele toename = (toename ÷ oud) ×  100% = {2 × oude aantal verkeersslachtoffers ÷ oude aantal verkeersslachtoffers} × 100% = 2 × 100% = 200%

→ De percentuele toename is 200%.

Opgave 17.

Stap1. Bereken eerst de omzet in 2016

• Omzet in 2016 = omzet in 2015 + (toename = 3 400 000 × 18%) = 3 400 000 + 612 000 = 4 012 000

Stap 2. Bereken de omzet in 2017

• Omzet in 2017 = omzet in 2016 – (afname = 4 012 000 × 22%) = 4 012 000 – 882 640 = 3 129 360

Stap 3. Bereken de percentuele afname van omzet in 2017

• Percentuele afname = (afname ÷ oud) × 100%
• Absolute afname = omzet in 2015 – omzet in 2017 = 3 400 000 – 3 129 360 = 270 540 
• Percentuele afname = afname ÷ oud × 100% = (270 540 ÷ 3 400 000) × 100% ≈  8,0% (rond procenten af op één decimaal) 
• De omzet in 2017 is 8,0% lager dan in 2015.

Opgave 18

Een boek van € 19,00 wordt 10% in prijs verhoogd. Twee maanden later wordt de prijs van het boek met 10% verlaagd.

a.

→ Nieuwe prijs met 10% verhoging = oude prijs + oude prijs × 0,1 = 19,00  + 19,00 × 0,1 = € 20,90  

→ Percentuele afname = (afname ÷ oud) × 100%

• Absolute (benodigde) prijsafname = € 20,9 – € 19,00 = € 1,90
• Om weer op € 19,00 uit te komen moet de prijs met € 1,90 verlaagd worden van € 20,90.
• Percentuele afname = (€ 1,90 ÷ € 20,90) × 100% ≈ 9,1% (rond procenten af op één decimaal) 

→ De prijs van het boek had verlaagd moeten worden met 9,1% om weer op € 19,00 uit te komen. 

b.

→ Nieuwe prijs met 15% verhoging = oude prijs + oude prijs × 0,15 = 19,00  + 19,00 × 0,15 = € 21,85

→ Percentuele afname = (afname ÷ oud) × 100%

• Absolute (benodigde) prijsafname = € 21,85 – € 19,00 = € 2,85
• Om weer op € 19,00 uit te komen moet de prijs met € 2,85 verlaagd worden van € 21,85.
• Percentuele afname = (€ 2,85 ÷ € 21,85) × 100% ≈ 13,0% (rond procenten af op één decimaal) 

→ De prijs van het boek moet met 13,0% verlaagd worden om weer op € 19,00 uit te komen. 

c.

→ Nieuwe prijs met 15% verlaging = oude prijs – oude prijs × 0,15 = 19,00  – 19,00 × 0,15 = € 16,15

→ Percentuele toename = (toename ÷ oud) × 100%

• Absolute (benodigde) prijstoename = € 19,00 – € 16,15 = € 2,85
• Om weer op € 19,00 uit te komen moet de prijs met € 2,85 verhoogd worden van € 16,15.
• Percentuele toename = (€ 2,85 ÷ € 16,15) × 100% ≈ 17,6% (rond procenten af op één decimaal) 

→ De prijs van het boek moet met 17,6% verhoogd worden om weer op € 19,00 uit te komen. 

d.

→ Nieuwe prijs met verdubbeling van de prijs = oude prijs – oude prijs × 100% = 19,00  – 19,00 × 1 = € 38,00

→ Percentuele afname = (afname ÷ oud) × 100%

• Absolute (benodigde) prijsafname = € 38,00 – € 19,00 = € 19,00
• Om weer op € 19,00 uit te komen moet de prijs met € 19,00 verlaagd worden van € 38,00.
• Percentuele afname = (€ 19,00 ÷ € 38,00) × 100% = 50% 

→ De prijs van het boek moet met 50% verlaagd worden om weer op € 19,00 uit te komen. 

Rekenen met procenten (H6.1) - deel 1- G&R 12de - VWO 2

   ( Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H6. Procenten en diagrammen)

H6.1 Rekenen met procenten - deel 1

(Opgave 2, 4, 5, 6, 8)

Opgave 2.

a.

→ Totaal aantal leden = 327 mannen + 433 vrouwen = 760

→ Nieuwe aantal leden = oude aantal leden + (toename = oude aantal leden × 3,7%) = 760 + 760 ×0,037 = 788,12

→ Het nieuwe aantal leden is 788 (rond aantallen mensen af op gehelen).

b.

→ Nieuwe jaarlijkse contributie = oude jaarlijkse contributie  – (afname = oude jaarlijkse contributie × 8,2%) = 185 euro – 185 × 0,082 = 169,83

→ De nieuwe jaarlijkse contributie is 169,83 euro.

Opgave 4.

a.

→ Nieuwe prijs van spaarlamp = oude prijs – (afname = oude prijs × 14%) = 8,95 euro – 8,95 × 0,14 = 7,697

→ De nieuwe prijs van een spaarlamp is 7,70 euro (rond geldbedragen af op centen).

b.

→ Aantal leden in 2017 = aantal leden in 2016 – (afname = aantal leden in 2016 ×4,8%) = 854 – 854 × 0,048 = 813,008

→ Het aantal leden in 2017 is 813 (rond aantallen mensen af op gehelen).

Opgave 5.

a.

→ Nieuwe prijs = oude prijs – (afname = de oude prijs × 8,4%) = 59,75 euro  – 59,75 × 0,084 = 54,731

→ De nieuwe prijs is 54,73 euro (rond geldbedragen af op centen).

b.

→ Nieuwe prijs standaardabonnement = oude prijs + (toename = oude prijs × 4,2%) = 17,95 euro + 17,95 × 0,042 = 18,7039

→ De nieuwe prijs is 18,70 euro (rond geldbedragen af op centen).   

c.

→ Aantal vuurwerkslachtoffers in 2016 = aantal vuurwerkslachtoffers in 2015 – (afname = aantal vuurwerkslachtoffers in 2015 × 14%) = 558 – 558 × 0,14 = 479,88

→ Het aantal vuurwerkslachtoffers in 2016 is 480 (rond aantallen mensen af op gehelen).

d.

→ Aantal elektrische motorfietsen in 2016 = aantal elektrische motorfietsen in 2015 + (toename = aantal elektrische motorfietsen in 2015 × 17,9%) = 268 + 268 × 0,179 = 315,972

→ Het aantal elektrische motorfietsen in 2016 is 316 (rond aantallen fietsen af op gehelen).

Opgave 6.

a.

→ De prijs van één riem = 68,80 euro ÷ 20 = 3,44 euro

→ Nieuwe prijs van één riem = oude prijs + (toename = oude prijs × 55%) = 3,44 + 3,44 × 0,55 = 5,332

→ Karen koopt vijf riemen: 5,332 × 5 = 26,66 euro

→ Karen moet 26,66 euro betalen.

  

b.

→ Kortingsprijs van de hardloopschoenen = normale prijs – (korting = normale prijs × 12,5%) = 179,95 – 179,95 × 0,125 = 157,45625

→ Marcel betaalt met vier briefjes van 50 euro: 4 × 50 euro = 200 euro

→ Het geldbedrag dat Marcel terugkrijgt = 200 euro – 157,45625 = 42,54375

→ Het geldbedrag dat Marcel terugkrijgt is 42, 54 euro (rond geldbedragen af op centen).

 

c.

→ Stap1. Het aantal bovenbouwleerlingen

• Aantal bovenbouwleerlingen in het oude schooljaar = 1296 – 623 = 673
• Aantal bovenbouwleerlingen in het nieuwe schooljaar = 673 + (toename = 673 × 5,2%) = 673 + 673 × 0,052 = 707,996
• Het aantal bovenbouwleerlingen in het nieuwe schooljaar is 708 (rond aantallen leerlingen af op gehelen).

→ Stap2. Het aantal onderbouwleerlingen

• Aantal onderbouwleerlingen in het nieuwe schooljaar = 623 – (afname = 623 × 5,6%) = 623 – 623 × 0,056 = 588,112
• Het aantal onderbouwleerlingen in het nieuwe schooljaar is 588 (rond aantallen leerlingen af op gehelen).

→ Stap 3. Het totale aantal leerlingen

• Totale aantal leerlingen in het nieuwe schooljaar = 708 + 588 =1296
• Het totale aantal leerlingen blijft gelijk als 1296.

Opgave 8.

a.

→ Aantal uur en minuten dat Irene op dinsdag doet over het huiswerk = aantal uur en minuten op maandag + (toename = aantal uur en minuten × 30%) = 1,8 uur + 1,8 × 0,3 = 2,34 uur

→ 0,34 uur = 60 × 0,34 minuten = 20,4 minuten

→ Irene doet op dinsdag 2 uur en 20,4 minuten over het huiswerk. 

b.

→ 7,5% van de dag = 24 uur × 0,075 = 1,8 uur

→ Lex besteedt op maandag 1,8 uur aan het huiswerk.

→ Aantal uur en minuten dat Lex op dinsdag doet over het huiswerk = aantal uur en minuten op maandag + (toename = het aantal uur en minuten op maandag × 25%) = 1,8 uur + 1,8 × 0,25 = 2,25 uur

→ 0,25 uur = 60 × 0,25 minuten = 15 minuten

→ Lex besteedt op dinsdag 2 uur en 15 minuten aan het huiswerk.

c.

→ Duur van de trainingsronde op dinsdag = duur van de trainingsronde op maandag + (toename = duur van de traingingsronde op maandag × 40%) = 3,25 uur + 3,25 × 0,4 = 4,55

→ Aantal uur en minuten dat Frits op dinsdag nodig heeft = 4 uur en (60 × 0,55 =) 33 minuten.

→ Tijdstip waarop Frits dinsdag terugkomt = 9:45 uur + 4 uur en 33 minuten = 14:18 uur

Diagnostische toets - H8 Inhoud en vergroten - G&R 12de - VWO 2

       (Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H8. Inhoud en vergroten)

Diagnostische toets - H8. 

(Opgave 3,4,7,8,9)

Opgave 3.

→ Het grondvlak van de buis:

→ De inhoud van de buis = de inhoud van een cilinder met een diameter van 30 mm – de inhoud van een cilinder met een diameter van 25 mm

① De inhoud van de cilinder met een diameter van 30 mm :

• inhoud cilinder = π × straal² × hoogte 
• De hoogte van de buis is 12 meter.  12 meter = 12000 mm
• De straal van de de cilinder met een diameter van 30 mm = 15 mm 
• De inhoud van de cilinder met een diameter van 30 mm = π × 15² × 12000

②  de inhoud van de cilinder met een diameter van 25 mm

• De hoogte van de buis is 12 meter. 12 meter = 12000 mm
• De straal van de de cilinder met een diameter van 25 mm = 12,5 mm 
• De inhoud van de cilinder met een diameter van 30 mm = π × 12,5² × 12

③ De inhoud van de buis  = (π × 15² × 12000) – (π × 12.5² × 12000) = 12000π•(15² – 12,5²) ≈ 2.591.814 mm³  

• 1.000.000 mm³ = 1 dm³
• 2.591.814 mm³   = 2,591814 dm³

→ De soortelijke massa van het metaal is 7,2 kg per dm³.

→ De hoeveelheid kg metaal van de buis = 2,591814 dm³ × 7,2 kg  ≈ 18,66 kg

→ De buis bestaat uit 19 kg metaal (rond af op gehelen).

Opgave 4.

→ inhoud piramide = ⅓ × oppervlakte grondvlak × hoogte

• Het grondvlak van de piramide is een trapezium.
• het grondvlak van de piramide = ½ × (2 + 4) × 6 = 18 cm².
• De hoogte van de piramide is 6 cm.
• De inhoud van de piramide = ⅓ × 18 × 6 = 36 cm³

Opgave 7.

a.

→ Vazen II en III zijn vergrotingen van vaas I.

→  De vergrotingsfactor inzake vaas II = 2 ÷ 1,3 ≈ 1,5

• De vergrotingsfactor inzake vaas II is 1,5 (bereken in één decimaal nauwkeurig).

→ De vergrotingsfactor inzake vaas III = 2,7 ÷ 1,3 ≈ 2,0

• De vergrotingsfactor inzake vaas III is 2 (berekenen in één decimaal nauwkeurig).

b.

→ De hoogte van vaas I is in werkelijkheid 18,6 cm.

• De hoogte van vaas II = vergrotingsfactor × de hoogte van vaas I = 1,5 ×18,6 = 27,9 cm.
• De hoogte van vaas III = vergrotingsfactor × de hoogte van vaas I = 2 × 18,6 = 37,2 cm.

Opgave 8.

a.

→ De oppervlakte van formaat B is 1,11 m².

→ Formaat C is een vergroting van formaat B. De vergrotingsfactor is 1,15.

→ De oppervlakte van formaat C in dm²:

• oppervlakte beeld = vergrotingsfactor² × oppervlakte origineel
• 1,11 m² = 111 dm²  ← 1 m² = 100 dm² 
• De oppervlakte van formaat C = 1,15² × 111 dm² ≈  146,78 dm²
• De oppervlakte van formaat C is 147 dm² (rond af op gehelen).

b.

→ Formaat A is een verkleining van formaat B. 

→ De oppervlakte van formaat A is 0,84 m².

→ De vergrotingsfactor (in twee decimalen nauwkeurig):

• De oppervlakte van formaat A = vergrotingsfactor² × de oppervlakte van formaat B
• De vergrotingsfactor = √(de oppervlakte van formaat A ÷ de oppervlakte van formaat B)
• De oppervlakte van formaat A is 0,84 m² en de oppervlakte van formaat B is 1,11 m².
• De vergrotingsfactor = √(0,84 ÷ 1,11) ≈ 0,87
• De vergrotingsfactor is 0,87 (in twee decimalen nauwkeurig).

Opgave 9.

• Gum I : de langste zijde is 2,5 cm, de oppervlakte is 10,6 cm² en de inhoud is 2 cm³

a.

→ Van gum II zijn alle afmetingen 1,8 keer zo groot als die van gum I.

→ Gum II is een vergroting van gum I. De vergrotingsfactor is 1,8

→ De inhoud van gum II = 1,8³ × 2 cm³ ≈ 11,7 cm³ (rond af op één decimaal).

b.

→ De inhoud van gum III is 24 cm³.

→ Gum III is een vergroting van gum I.

→ De vergrotingsfactor = ³√(de inhoud van gum III ÷ de inhoud van gum I) = ³√(24 ÷ 2) ≈ 2,29 (in twee decimalen nauwkeurig).

c.

→ De oppervlakte van gum IV is 16 cm².

→ De inhoud van gum IV wordt als volgt berekend:

• De oppervlakte van gum I is 10,6 cm²
• De vergrotingsfactor k = √(16 ÷ 10,6) 
• De inhoud van gum IV = k³ × de inhoud van gum I = (√(16 ÷ 10,6))³ × 2 ≈ 3,7
• De inhoud van gum IV is 3,7 cm³ (rond af op één decimaal). 

Gemengde opgaven - H8 Inhoud en vergroten - G&R 12de - VWO 2

      (Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H8. Inhoud en vergroten)

Gemengde Opgaven H8. 

(Opgave 1, 2, 3, 5, 6, 7)

Opgave 1.

a.

 (Elk prisma heeft twee evenwijdige zijvlakken: het grondvlak en het bovenvlak. Je ziet dat het grondvlak niet altijd aan de onderkant zit.)

→ Het grondvlak van het prisma is :

→ De oppervlakte van het grondvlak van het prisma wordt berekend als volgt:

•      (5 × 4 ) – {(½ × 5 × 3) +  (½ × 1 × 2)} = 20 – 8,5 = 11,5 cm²

→ De hoogte van het prisma is 6 cm.

• inhoud prisma = oppervlakte grondvlak × hoogte
• de inhoud van het prisma = 11,5 × 6 = 69 cm³

b.

→ De piramide E ABCD is:

→  De inhoud van de piramide E ABCD wordt berekend als volgt:

• inhoud piramide = ⅓ × oppervlakte grondvlak × hoogte
• de oppervlakte van het grondvlak van de piramide E ABCD = 4 × 6 = 24 cm²
• de hoogte van de piramide is 5 cm
• de inhoud van de piramide E ABCD = ⅓ × 24 × 5 = 40 cm³ 

c.

→ De piramide E KMGF is:

→ De inhoud van de piramide E KMGF wordt berekend als volgt:

• inhoud piramide = ⅓ × oppervlakte grondvlak × hoogte
• de oppervlakte van het grondvlak van de piramide E KMGF = 6 × 2 = 12 cm²
• de hoogte van de piramide is 4 cm.
• de inhoud van de piramide E KMGF = ⅓ × 12 × 4 = 16 cm³

d.

→ Joost plaatst in een balk van 4 bij 5 bij 6 cm een zo groot mogelijke cilinder. 

→ Om de cilinder zo groot mogelijk te laten zijn, moet de diameter van de cilinder zo groot zijn als één van de ribben van de balk. Joost kan twee mogelijkheden vergelijken: 

• een cilinder waarvan de diameter 4 cm is en de hoogte 5 cm
• een cilinder waarvan de diameter 5 cm is en de hoogte 4 cm. 

① Een cilinder waarvan de diameter 4 cm is en de hoogte 5 cm

• de inhoud van deze cilinder = π × 2² × 5 ≈ 62,83

② Een cilinder waarvan de diameter 5 cm is en de hoogte 4 cm. 

• de inhoud van deze cilinder = π × 2,5² × 4 ≈ 78,5398

→ De inhoud van cilinder ① is kleiner dan de inhoud van cilinder ②

→ Cilinder ② is zo groot mogelijk gegeven de balk. De inhoud van cilinder ② is 78,5 cm³ (rond af op één decimaal).

Opgave 2.

a.

→  De inhoud van een messenblok = de inhoud van het bovenste prisma + de inhoud van het onderste prisma

① de inhoud van het bovenste prisma

• inhoud prisma = oppervlakte grondvlak × hoogte
• de oppervlakte van het grondvlak van het bovenste prisma = ½ × (1,4 dm + 0,6 dm) × 2,5 dm = 2,5 dm²
• de hoogte van het bovenste prisma = 1,2 dm
• de inhoud van het bovenste prisma = 2,5 dm² × 1,2 dm = 3 dm³.

      (Je kan ook de berekening in cm maken en daarna van cm³ naar dm³ omrekenen.)

• de oppervlakte van het grondvlak van het bovenste prisma = ½ × (14 cm + 6 cm) × 25 cm = 250 cm²
• de hoogte van het bovenste prisma = 12 cm
• de inhoud van het bovenste prisma = 250 cm² × 12 cm = 3.000 cm³
• 1000 cm³ = 1 dm³
• 3000 cm³ = 3 dm³

② de inhoud van het onderste prisma

• inhoud prisma = oppervlakte grondvlak × hoogte
• de oppervlakte van het grondvlak van het onderste prisma = ½ × 8 cm × 20 cm = 80 cm²
• de hoogte van het onderste prisma = 12 cm
• de inhoud van het onderste prisma = 80 cm² × 12 cm = 960 cm³
• 1000 cm³ = 1 dm³
• 960 cm³ = 0,96 dm³
• de inhoud van het onderste prisma = 960 cm³ = 0,96 dm³

③ De inhoud van het messenblok = 3 dm³ + 0,96 dm³ = 3,96 dm³

b.

→ De sleuven in het blok vormen 5% van de inhoud van het blok. Het hout weegt 1200 kg per m³.

→ Het gewicht van het hout is uitgedrukt in m³. 3,96 dm³, de inhoud van het messenblok, moet naar m³ omgerekend worden.

• 1000 dm³ = 1 m³
• 3,96 dm³ = 0,00396 m³

→ Het hout weegt 1200 kg per m³. De inhoud van 0,00396 m³ weegt 1200 kg × 0,00396 m³ =  4,752 kg

→ De sleuven in het blok vormen 5% van de inhoud van het blok.

• 5% × 4,752 kg = 0,2376 kg

→ Het gewicht van het messenblok = 4,752 kg – 0,2376 kg = 4,5144 kg

• Het gewicht van het messenblok is 4,5 kg (rond af op één decimaal).

c.

→ Van een ander messenblok zijn de afmetingen de helft van die van het gegeven blok. 

• Het andere messenblok is een verkleining van het gegeven messenblok. De vergrotingsfactor k is ½ (=0,5).

→ De vraag is hoeveel gram het kleine messenblok weegt. Het gewicht is gekoppeld aan de inhoud.

• inhoud beeld = k³ × inhoud origineel
• het gewicht van het kleine messenblok = 0,5³ × 4,5144 kg = 0,5643 kg
• 0,5643 kg = 564,3 gram

→ Het kleine messenblok weegt 564 gram (rond af op gehelen).

Opgave 3.

a.

→ inhoud cilinder = π × straal² × hoogte

→ De inhoud van de cilindervormige pijler = π × 10² × (40 + 18) = π × 10² × 58 ≈ 18221,2374

→ De inhoud van de cilindervormige pijler is 18.221 m³ (bereken in gehele m³).

b.

→ inhoud kegel = ⅓ × π × straal² × hoogte

→ de inhoud van het reservoir = ⅓ × π × (92 ÷ 2)² × (64,8 + 18) = ⅓ × π × 46² × 82,8 ≈183474,03

→ De inhoud van het reservoir is 183.474 m³ (rond af op gehelen).

Opgave 5.

• De drie formaten dozen zijn gelijkvormig.
• Formaat A: 150 gram drop kan in deze doos zitten en de lengte  van deze doos is 8 cm.
• Formaat B: 540 gram drop kan in deze doos zitten.
• Het gewicht is gekoppeld aan de inhoud.

a.

→ Om de lengte van een doos van formaat B te berekenen, moet je eerst de vergrotingsfactor k hebben.

• inhoud beeld = k³ × inhoud origineel
• k = ³√(inhoud beeld ÷ inhoud origineel)
• Als je een doos van formaat A als het origineel neemt,
• k = ³√(540 ÷ 150) = ³√3,6 ≈ 1,533

→ De lengte van een doos van formaat B = k × de lengte van een doos van formaat A = ³√3,6 × 8 ≈ 12,26 cm.

→ De lengte van een doos van formaat B is 12,3 cm (rond af op één decimaal). 

b.

→ De hoeveelheid karton die nodig is voor de dozen betreft de oppervlakte van de dozen.

• oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel
• hoeveelheid karton voor een doos van formaat B = k² × hoeveelheid karton voor een doos van formaat A = (³√3,6)² × hoeveelheid karton voor een doos van formaat A
• (³√3,6)² ≈ 2,349

→ Voor een doos van formaat B is 2,35 keer zoveel karton nodig als voor een doos van formaat A (rond af op twee decimalen). 

c.

→ Voor een doos van formaat C is tien keer zoveel karton nodig als voor een doos van formaat A.

• hoeveelheid karton voor een doos van formaat C = k² × hoeveelheid karton voor een doos van formaat A 
• k² = 10
• k =√10

→ Het gewicht van drop die gaat in een doos van formaat C:

• inhoud beeld = k³ × inhoud origineel
• Het gewicht van drop die gaat in een doos van formaat C = k³ × het gewicht van drop die gaat in een doos van formaat A = (√10)³ × 150 gram ≈ 4743,41 

→ Het gewicht van drop die gaat in een doos van formaat C is 4740 gram (rond af op tientallen).

Opgave 6.

a.

• Raam A: ① rechthoekig, ② 80 cm hoog en ③ de oppervlakte 4000 cm²
• Raam B: ① een verkleining van raam A en ② de oppervlakte 250 cm² 

→ De vergrotingsfactor k:

• oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel
• k = √(oppervlakte beeld ÷ oppervlakte origineel) = √(250 ÷ 4000) = 0,25

→ De hoogte van raam B = k × de hoogte van raam A = 0,25 × 80 = 20 cm

→ De breedte van raam B = k × de breedte van raam A = 0,25 × 50 = 12,5 cm

• De breedte van raam A = 4000 cm² ÷ 80 cm = 50 cm

b.

• Muur A: ① 3,2 meter bij 3,8 meter, ② voor muur A is 2,6 liter verf nodig 
• Muur B: ① een vergroting van muur A, ② voor muur B is 16,25 liter verf nodig

→ De vergrotingsfactor k:

• oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel
• Pas op: de verf wordt gebruikt voor de oppervlakte van de muur.
• k = √(oppervlakte beeld ÷ oppervlakte origineel) = √(16,25 ÷ 2,6) ≈ 2,5

→ De breedte van muur B = k × de breedte van muur A = 2,5 × 3,8 meter = 9,5 meter

→ De hoogte van raam B = k × de hoogte van raam A = 2,5 × 3,2 meter = 8 meter

Opgave 7.

→ De inhoud van de sneeuwbal is met 75% afgenomen. 

→ De inhoud van de gesmolten sneeuwbal = 25% van de inhoud van de originele sneeuwbal

• inhoud beeld = k³ × inhoud origineel
• k³ = 25% = 0,25
• k = ³√0,25 ≈ 0,630
• de straal van de gesmolten sneeuwbal = k × de straal van de originele sneeuwbal
• percentuele afname = (afname ÷ OUD) × 100 %  ← Zie: H6. blz.59 
• OUD = de staal van de originele sneeuwbal
• afname = de straal van de originele sneeuwbal – de straal van de gesmolten sneeuwbal 

                                 = de straal van de originele sneeuwbal – (k × de straal van de originele sneeuwbal)
                                 = de straal van de originele sneeuwbal(1 – k)  

                                                     ↑

                                   ontbinden in factoren, gemeenschappelijke factor, Zie H7 blz. 107 

• afname ÷ OUD = {de straal van de originele sneeuwbal(1– k)} ÷ de straal van de originele sneeuwbal = 1– k
• percentuele afname = (1 – k) × 100% = (1 – 0,630) × 100% = 0,370 × 100% = 37,0%

→ De straal van de sneeuwbal is met 37,0% afgenomen.

Inhoud bij vergroten (H8.5) - G&R 12de - VWO 2

     (Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H8 Inhoud en vergroten)

H8.5 Inhoud bij vergroten

(61, 62, 63, 64, 69, 70)

Opgave 61. 

a. 

→ De twee blikken zijn gelijkvormig. Als L het origineel is, dan is XL de vergroting van L. 

• Vergrotingsfactor k = afmeting beeld ÷ overeenkomstige afmeting origineel
• De hoogte van blikformaat L (origineel) is 12 cm. Van formaat XL (beeld) is de hoogte 18 cm. 
• k = 18 cm ÷ 12 cm = 1,5 

→ Om te bepalen welk blik de beste koop is, vergelijk je de prijzen van de inhoud van de twee blikken.

• inhoud beeld = k³ × inhoud origineel
• Als de kosten van de inhoud van een XL-blik meer dan 1,5³ keer de kosten van de inhoud van een L-blik zijn, dan is een blik van formaat L de beste koop.
• Als de kosten van de inhoud van een XL-blik minder dan 1,5³ keer de kosten van de inhoud van een L-blik zijn, dan is een blik van formaat XL de beste koop.
• Als de kostwn van de inhoud van een XL-blik gelijk is aan 1,5³ keer de kosten van de inhoud van een L-blik, dan is geen van de twee blikken de beste koop.

→ Een blik van formaat L kost 2,50 euro. Formaat XL kost 8,50 euro. De vergrotingsfactor k is 1,5.

• 2,50 × 1,5³ = 8,4375 → 8,40 euro
• 8,40 euro (1,5³ keer de kosten van een L-blik) <  8,50 euro (de kosten van een XL-blik)
• Een blik van formaat L is de beste koop.

b.

→ De materiaalkosten zijn proportioneel met de oppervlakte van het blik.

→ De materiaalkosten van een blik van formaat XL zijn 30 cent. De vergrotingsfactor k is 1,5.

• De oppervlakte van een blik van formaat XL is zo groot als 1,5² keer de oppervlakte van een blik van formaat L.
• De materiaalkosten van een blik van formaat L = de materiaalkosten van een blik van formaat XL ÷ 1,5² = 30 cent ÷ 1,5² ≈ 13,3 → 13 cent
• De materiaalkosten van een blik van formaat L zijn 13 cent.

c.

→ Het voer wordt in de blikken gedaan. Dus de inkoopkosten van het voer per blik betreffen de inhoud van het blik.

• De inkoopkosten van het voer in formaat XL zijn 2 euro. De vergrotingsfactor k is 1,5.
• De inhoud van een blik van formaat XL is zo groot als 1,5³ keer de inhoud van een blik van formaat L.
• De inkoopkosten van het voer in formaat L = De inkoopkosten van het voer in formaat XL ÷ 1,5³ = 2 euro ÷ 1,5³ ≈ 0,592 → 0,59 euro

Opgave 62.

→ Pas op: er staat in de opgave "Geef je antwoorden zo mogelijk in meter, in m² of in m³".

→ Het echte vliegtuig Airbus A380 is een vergroting van het model. De vergrotingsfactor k is 35. 

a.

→ Het modelvliegtuig is 205,7 cm lang.

• 205,7 cm = 2,057 m

→ lengte beeld = k × lengte origineel 

→ lengte van het echte vliegtuig = k × lengte van het modelvliegtuig

                                                     = 35 × 2,057 m = 71,995 m

→ De lengte van het echte vliegtuig is 72,0 m (rond af op één decimaal).

b.

→ De brandstoftanks van het modelvliegtuig hebben een inhoud van 7463,6 cm³.

•  7463,6 cm³ = 0,0074636 m³ 

→ inhoud beeld = k³ × inhoud origineel

→ inhoud van de brandstoftanks van het echte vliegtuig = k³ × inhoud van de brandstoftanks van het model

• inhoud van de brandstoftanks van het echte vliegtuig = 35³ × 0,0074636 m³ = 320,00185 m³

→ De inhoud van de brandstoftanks van het echte vliegtuig is 320,0 m³ (rond af op één decimaal).

c.

→ Het vleugeloppervlak van het modelvliegtuig is 69,0 dm².

• 69 dm² = 0,69 m²

→ oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel

→ vleugeloppervlakte van het echte vliegtuig = k² × vleugeloppervlakte van het modelvliegtuig

• vleugeloppervlakte van het echte vliegtuig = 35² × 0,69 m² = 845,25 m²

→ Het vleugeloppervlak van het echte vliegtuig is 845,3 m² (rond af op één decimaal).

d.

→ De spanwijdte van het modelvliegtuig is 22,8 dm.

• 22,8 dm = 2,28 m

→ lengte beeld = k × lengte origineel 

→ spanwijdte van het echte vliegtuig = k × spanwijdte van het modelvliegtuig

                                                     = 35 × 2,28 m = 79,8 m

→ De spanwijdte van het echte vliegtuig is 79,8 m (rond af op één decimaal).

e.

→ De vleugels van het modelvliegtuig maken een hoek van 56,5º met de romp.

→ Het echte vliegtuig en het modelvliegtuig zijn gelijkvormige figuren. Als twee figuren gelijkvormig zijn, hebben de overeenkomstige hoeken dezelfde graden.

→ De vleugels van het echte vliegtuig maken ook (zoals bij het modelvliegtuig) een hoek van 56,5º met de romp.

Opgave 63.

a.

→ De kleinere melkauto is een verkleining van de melkauto. De vergrotingsfactor k is 0,65.

→ De vraag van de opgave is hoeveel kleinere melkauto's nodig zijn om alle melk van de volledig gevulde melkauto over te pompen. Deze vraag betreft dus de inhoud van de melkauto.

• Als je het benodigde aantal kleine melkauto's neemt als x,
•  x × inhoud van de kleine melkauto ≧ inhoud van de melkauto

  x ≧ inhoud van de melkauto ÷ inhoud van de kleine melkauto

 → inhoud beeld = k³ × inhoud origineel

• inhoud cilinder = π × straal² × hoogte
• inhoud van de melkauto = π × (2,5 ÷ 2)² × 22 = 34,375π m³
• inhoud van de kleine melkauto = 0,65³ × 34,375π
• inhoud van de melkauto ÷ inhoud van de kleine melkauto = 34,375π ÷ (0,65³ × 34,375π) = 1 ÷ 0,65³ ≈ 3,64 

→ Het aantal benodigde kleinere melkauto's is 4.

b.

①Er wordt 10 liter melk per seconde overgepompt. 

②Het wisselen van de kleine melkauto's neemt telkens 10 minuten in beslag.

③Om 14:30 uur is de eerste kleine melkauto aangesloten en begint het overpompen. 

→ 1000 liter = 1 m³, dan 10 liter = 0,01 m³

→ Er wordt 0,01 m³ per seconde overgepompt.

• inhoud van de kleine melkauto = 0,65³ × 34,375π m³
• benodigde tijd om de melk naar één kleine melkauto over te pompen = (0,65³ × 34,375π m³) ÷  0,01 m³ ≈ 2966 seconden
• Om de melk naar één kleine melkauto over te pompen duurt het 2966 seconden.

→ inhoud van de melkauto – (3 × inhoud van de kleine melkauto) = de inhoud van de 4de kleine melkauto

• 34,375π m³ – (3 × 0,65³ × 34,375π m³) ≈ 19,02 m³
• benodigde tijd om de melk naar de 4de kleine melkauto over te pompen = 19,02 m³ ÷  0,01 m³ ≈ 1902 seconden

→ benodigde tijd om de melk naar 4 kleine melkauto's over te pompen = (3 × benodigde tijd om de melk naar één kleine melkauto over te pompen) + (3 × wisseltijd van 10 minuten) + benodigde tijd om de melk naar de 4de kleine melkauto over te pompen

• benodigde tijd om de melk naar 4 kleine melkauto's over te pompen = (3 × 2966 seconden) + (3 × 10 × 60 seconden) + 1902 seconden = 8898 + 1800 + 1902 = 12600 seconden
• 12600 ÷ 60 = 210 minuten
• 210 minuten = 3 uur en 30 minuten

→ Om 14:30 uur is de eerste kleine melkauto aangesloten en begint het overpompen. 3 uur en 30 minuten later dan 14:30 is 18:00 uur.

→ De laatste druppel melk is overgepompt om 18:00 uur.

Opgave 64.

→ inhoud beeld = k³ × inhoud origineel

• k = ³√(inhoud beeld ÷ inhoud origineel)

→ Een Matroeskja is een holle pop met daarin een reeks verkleiningen van de grootste pop.

→ De inhoud van de grootste pop op de foto is 500 cm³. De inhoud van de kleinste pop is 4 cm³.

•   k = ³√(inhoud beeld ÷ inhoud origineel) = ³√(4 ÷ 500) = 0,2

→ De vergrotingsfactor k is 0,2 (0,2 = ⅕). 

Opgave 69.

a.

→ Appartementencomplex II is een prisma. De inhoud van complex II kan berekend worden als oppervlakte grondvlak × hoogte. 

• Stap①. Bereken de oppervlakte van het grondvlak van Appartementencomplex II
• oppervlakte rechthoek van 40 bij 32 meter – (oppervlakte blauwe driehoek + oppervlakte oranje driehoek) = (40 × 32) – {(½ × 20 × 8) + (½ × 4 × 40)} = 1120
• Stap②. Bereken de inhoud van Appartementencomplex II
• inhoud prisma = oppervlakte grondvlak × hoogte
• De hoogte van Appartementencomplex II is 30 m.
• inhoud van Appartementencomplex II = 1120 × 30 = 33.600

→ De inhoud van Appartementencomplex II is 33.600 m³.

b.

→ Appartementencomplex I is een verkleining van complex II met een twee keer zo kleine inhoud als complex II.

• inhoud van Appartementencomplex I × 2 = inhoud van Appartementencomplex II
• inhoud beeld = k³ × inhoud origineel
• k = ³√(inhoud beeld ÷ inhoud origineel)
• inhoud van Appartementencomplex I = k³ × inhoud van Appartementencomplex II
• k = ³√(inhoud van Appartementencomplex I ÷ inhoud van Appartementencomplex II)
• inhoud van Appartementencomplex II = 33.600 m³.
• inhoud van Appartementencomplex I = ½ × 33.600 = 16.800 m³
• k = ³√(16800 ÷ 33600) ≈ 0,7937

→ De oppervlakte van het rechthoekige stuk grond van Appartementencomplex II is 40 × 32 = 1280 m². 

• oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel
• oppervlakte van het rechthoekige stuk grond dat nodig is voor de bouw van complex I  = 0,7937² × 1280 ≈ 806.35

→ De oppervlakte van het rechthoekige stuk grond dat nodig is voor de bouw van complex I is 806 m² (rond af op gehelen).

c. 

→ Appartementencomplex III is een vergroting van complex II. De oppervlakte van het grondstuk dat nodig is voor complex III is twee keer zo groot als de oppervlakte van het stuk grond waarop complex II is gebouwd.

• oppervlakte grondstuk van Appartementencomplex II × 2 = oppervlakte grondstuk van Appartementencomplex III
• oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel
• k = √(oppervlakte beeld ÷ oppervlakte origineel)
• oppervlakte grondstuk van Appartementencomplex III = k² × oppervlakte grondstuk van Appartementencomplex II
• k = √(oppervlakte grondstuk van Appartementencomplex III ÷ oppervlakte grondstuk van Appartementencomplex II)
• oppervlakte grondstuk van Appartementencomplex II = 40 × 32 = 1280 m². 
• oppervlakte grondstuk van Appartementencomplex III  = 2 × 1280 = 2560 m²
• k = √(2560 ÷ 1280) ≈ 1,4142

→ De inhoud van Appartementencomplex II is 33.600 m³.

• inhoud beeld = k³ × inhoud origineel
• inhoud van Appartementencomplex III = 1,4142³ × 33600 ≈ 95035,15

→ De inhoud van Appartementencomplex III is 95.035 m³ (rond af op gehelen).

d.

→ Complex III is ook een vergroting van complex I.

→ De vergrotingsfactor k kan berekend worden uit de ① lengte of ② oppervlakte of ③inhoud van twee gelijkvormige figuren. 

→ Met deze opgave is de oppervlakte van het rechthoekige stuk grond dat nodig is voor de bouw van Appartementencomplex gegeven. 

• De oppervlakte van het rechthoekige stuk grond dat nodig is voor de bouw van complex I is 806 m². ← van vraag b.
• De oppervlakte van het grondstuk dat nodig is voor complex III is twee keer zo groot als de oppervlakte van het stuk grond waarop complex II is gebouwd. De oppervlakte van het grondstuk van Appartementencomplex III  = 2 × 1280 = 2560 m²  ← van vraag c
• k = √(oppervlakte beeld ÷ oppervlakte origineel)
• k = √(oppervlakte grondstuk van Appartementencomplex III ÷ oppervlakte grondstuk van Appartementencomplex I) = √ (2560  ÷ 806) ≈ 1,782

→ De vergrotingsfactor k is 1,8 (rond af op één decimaal).

Opgave 70.

• Alle pylonen zijn vergrotingen van elkaar. 
• De grootste pylon in de figuur weegt 750 gram, is 65 cm hoog en heeft een middelste rode baan met een oppervlakte van 600 cm²
• De kleinste is 48 cm hoog.

a.

→ De grootste is 65 cm hoog en de kleinste 48 cm.

• vergrotingsfactor k = afmeting beeld ÷ overeenkomstige afmeting origineel = 65 ÷ 48 ≈ 1,3542

→ Het gewicht is gekoppeld aan de inhoud. (Denk maar eens aan kg per liter.)

• inhoud beeld = k³ × inhoud origineel
• het gewicht van het grootste pylon = k³ × het gewicht van de kleinste pylon
• het gewicht van de kleinste pylon = het gewicht van het grootste pylon ÷ k³ = 750 ÷ 1,3542³ ≈ 302,026 gram

→ Het gewicht van de kleinste pylon is 302,0 gram (rond af op één decimaal).

b.

→  het gewicht van de pylon van 1150 gram = k³ × het gewicht van de grootste pylon in de figuur

• k =  ³√(1150 ÷ 750) ≈ 1,153

→ De grootste is 65 cm hoog.

• afmeting beeld = k × overeenkomstige afmeting origineel
• de hoogte van een pylon van 1150 gram = 1,153 × 65 ≈ 74,954 cm

→ De hoogte van een pylon van 1150 gram is 75,0 cm (rond af op één decimaal).

c.

→ Vergrotingsfactor k = √(oppervlakte beeld ÷ oppervlakte origineel)

→ Van een pylon is de oppervlakte van de middelste rode baan 450 cm². De oppervlakte van de middelste rode baan van de grootste pylon is 600 cm².

• k = √(450 ÷ 600) ≈ 0,866

→ het gewicht van de pylon met als oppervlakte van de middelste rode baan 450 cm² = k³ × het gewicht van de grootste pylon in de figuur

• het gewicht van de pylon met als oppervlakte van de middelste rode baan 450 cm² = 0,866³ × 750 gram  ≈ 487,14 gram

→ Het gewicht van de pylon met als oppervlakte van de middelste rode baan 450 cm² is 487 gram (rond af op gehelen).