Wiskunde Huiswerkhulp (#Gymnasium) : H8

Posts tonen met het label H8. Alle posts tonen

vrijdag 21 mei 2021

Diagnostische toets - H8 Inhoud en vergroten - G&R 12de - VWO 2

(Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H8. Inhoud en vergroten)

Diagnostische toets - H8.

(Opgave 3,4,7,8,9)

Opgave 3.

→ Het grondvlak van de buis:

→ De inhoud van de buis = de inhoud van een cilinder met een diameter van 30 mm – de inhoud van een cilinder met een diameter van 25 mm

① De inhoud van de cilinder met een diameter van 30 mm :

inhoud cilinder = π × straal² × hoogte
De hoogte van de buis is 12 meter. 12 meter = 12000 mm
De straal van de de cilinder met een diameter van 30 mm = 15 mm
De inhoud van de cilinder met een diameter van 30 mm = π × 15² × 12000

② de inhoud van de cilinder met een diameter van 25 mm

De hoogte van de buis is 12 meter. 12 meter = 12000 mm
De straal van de de cilinder met een diameter van 25 mm = 12,5 mm
De inhoud van de cilinder met een diameter van 30 mm = π × 12,5² × 12

③ De inhoud van de buis = (π × 15² × 12000) – (π × 12.5² × 12000) = 12000π•(15² – 12,5²) ≈ 2.591.814 mm³

1.000.000 mm³ = 1 dm³
2.591.814 mm³ = 2,591814 dm³

→ De soortelijke massa van het metaal is 7,2 kg per dm³.
→ De hoeveelheid kg metaal van de buis = 2,591814 dm³ × 7,2 kg ≈ 18,66 kg
→ De buis bestaat uit 19 kg metaal (rond af op gehelen).

Opgave 4.

→ inhoud piramide = ⅓ × oppervlakte grondvlak × hoogte

Het grondvlak van de piramide is een trapezium.

het grondvlak van de piramide = ½ × (2 + 4) × 6 = 18 cm².

De hoogte van de piramide is 6 cm.
De inhoud van de piramide = ⅓ × 18 × 6 = 36 cm³

Opgave 7.

→ Vazen II en III zijn vergrotingen van vaas I.

→ De vergrotingsfactor inzake vaas II = 2 ÷ 1,3 ≈ 1,5

De vergrotingsfactor inzake vaas II is 1,5 (bereken in één decimaal nauwkeurig).

→ De vergrotingsfactor inzake vaas III = 2,7 ÷ 1,3 ≈ 2,0

De vergrotingsfactor inzake vaas III is 2 (berekenen in één decimaal nauwkeurig).

→ De hoogte van vaas I is in werkelijkheid 18,6 cm.

De hoogte van vaas II = vergrotingsfactor × de hoogte van vaas I = 1,5 ×18,6 = 27,9 cm.
De hoogte van vaas III = vergrotingsfactor × de hoogte van vaas I = 2 × 18,6 = 37,2 cm.

Opgave 8.

→ De oppervlakte van formaat B is 1,11 m².

→ Formaat C is een vergroting van formaat B. De vergrotingsfactor is 1,15.

→ De oppervlakte van formaat C in dm²:

oppervlakte beeld = vergrotingsfactor² × oppervlakte origineel
1,11 m² = 111 dm² ← 1 m² = 100 dm²
De oppervlakte van formaat C = 1,15² × 111 dm² ≈ 146,78 dm²
De oppervlakte van formaat C is 147 dm² (rond af op gehelen).

→ Formaat A is een verkleining van formaat B.

→ De oppervlakte van formaat A is 0,84 m².

→ De vergrotingsfactor (in twee decimalen nauwkeurig):

De oppervlakte van formaat A = vergrotingsfactor² × de oppervlakte van formaat B
De vergrotingsfactor = √(de oppervlakte van formaat A ÷ de oppervlakte van formaat B)
De oppervlakte van formaat A is 0,84 m² en de oppervlakte van formaat B is 1,11 m².
De vergrotingsfactor = √(0,84 ÷ 1,11) ≈ 0,87
De vergrotingsfactor is 0,87 (in twee decimalen nauwkeurig).

Opgave 9.

Gum I : de langste zijde is 2,5 cm, de oppervlakte is 10,6 cm² en de inhoud is 2 cm³

→ Van gum II zijn alle afmetingen 1,8 keer zo groot als die van gum I.

→ Gum II is een vergroting van gum I. De vergrotingsfactor is 1,8

→ De inhoud van gum II = 1,8³ × 2 cm³ ≈ 11,7 cm³ (rond af op één decimaal).

→ De inhoud van gum III is 24 cm³.

→ Gum III is een vergroting van gum I.

→ De vergrotingsfactor = ³√(de inhoud van gum III ÷ de inhoud van gum I) = ³√(24 ÷ 2) ≈ 2,29 (in twee decimalen nauwkeurig).

→ De oppervlakte van gum IV is 16 cm².

→ De inhoud van gum IV wordt als volgt berekend:

De oppervlakte van gum I is 10,6 cm²
De vergrotingsfactor k = √(16 ÷ 10,6)
De inhoud van gum IV = k³ × de inhoud van gum I = (√(16 ÷ 10,6))³ × 2 ≈ 3,7
De inhoud van gum IV is 3,7 cm³ (rond af op één decimaal).

Gemengde opgaven - H8 Inhoud en vergroten - G&R 12de - VWO 2

(Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H8. Inhoud en vergroten)

Gemengde Opgaven H8.

(Opgave 1, 2, 3, 5, 6, 7)

Opgave 1.

(Elk prisma heeft twee evenwijdige zijvlakken: het grondvlak en het bovenvlak. Je ziet dat het grondvlak niet altijd aan de onderkant zit.)

→ Het grondvlak van het prisma is :

→ De oppervlakte van het grondvlak van het prisma wordt berekend als volgt:

(5 × 4 ) – {(½ × 5 × 3) + (½ × 1 × 2)} = 20 – 8,5 = 11,5 cm²

→ De hoogte van het prisma is 6 cm.

inhoud prisma = oppervlakte grondvlak × hoogte
de inhoud van het prisma = 11,5 × 6 = 69 cm³

→ De piramide E ABCD is:

→ De inhoud van de piramide E ABCD wordt berekend als volgt:

inhoud piramide = ⅓ × oppervlakte grondvlak × hoogte
de oppervlakte van het grondvlak van de piramide E ABCD = 4 × 6 = 24 cm²
de hoogte van de piramide is 5 cm
de inhoud van de piramide E ABCD = ⅓ × 24 × 5 = 40 cm³

→ De piramide E KMGF is:

→ De inhoud van de piramide E KMGF wordt berekend als volgt:

inhoud piramide = ⅓ × oppervlakte grondvlak × hoogte
de oppervlakte van het grondvlak van de piramide E KMGF = 6 × 2 = 12 cm²
de hoogte van de piramide is 4 cm.
de inhoud van de piramide E KMGF = ⅓ × 12 × 4 = 16 cm³

→ Joost plaatst in een balk van 4 bij 5 bij 6 cm een zo groot mogelijke cilinder.

→ Om de cilinder zo groot mogelijk te laten zijn, moet de diameter van de cilinder zo groot zijn als één van de ribben van de balk. Joost kan twee mogelijkheden vergelijken:

een cilinder waarvan de diameter 4 cm is en de hoogte 5 cm
een cilinder waarvan de diameter 5 cm is en de hoogte 4 cm.

① Een cilinder waarvan de diameter 4 cm is en de hoogte 5 cm

de inhoud van deze cilinder = π × 2² × 5 ≈ 62,83

② Een cilinder waarvan de diameter 5 cm is en de hoogte 4 cm.

de inhoud van deze cilinder = π × 2,5² × 4 ≈ 78,5398

→ De inhoud van cilinder ① is kleiner dan de inhoud van cilinder ②

→ Cilinder ② is zo groot mogelijk gegeven de balk. De inhoud van cilinder ② is 78,5 cm³ (rond af op één decimaal).

Opgave 2.

→ De inhoud van een messenblok = de inhoud van het bovenste prisma + de inhoud van het onderste prisma

① de inhoud van het bovenste prisma

inhoud prisma = oppervlakte grondvlak × hoogte
de oppervlakte van het grondvlak van het bovenste prisma = ½ × (1,4 dm + 0,6 dm) × 2,5 dm = 2,5 dm²
de hoogte van het bovenste prisma = 1,2 dm
de inhoud van het bovenste prisma = 2,5 dm² × 1,2 dm = 3 dm³.

(Je kan ook de berekening in cm maken en daarna van cm³ naar dm³ omrekenen.)

de oppervlakte van het grondvlak van het bovenste prisma = ½ × (14 cm + 6 cm) × 25 cm = 250 cm²
de hoogte van het bovenste prisma = 12 cm
de inhoud van het bovenste prisma = 250 cm² × 12 cm = 3.000 cm³
1000 cm³ = 1 dm³
3000 cm³ = 3 dm³

② de inhoud van het onderste prisma

inhoud prisma = oppervlakte grondvlak × hoogte
de oppervlakte van het grondvlak van het onderste prisma = ½ × 8 cm × 20 cm = 80 cm²
de hoogte van het onderste prisma = 12 cm
de inhoud van het onderste prisma = 80 cm² × 12 cm = 960 cm³
1000 cm³ = 1 dm³
960 cm³ = 0,96 dm³
de inhoud van het onderste prisma = 960 cm³ = 0,96 dm³

③ De inhoud van het messenblok = 3 dm³ + 0,96 dm³ = 3,96 dm³

→ De sleuven in het blok vormen 5% van de inhoud van het blok. Het hout weegt 1200 kg per m³.

→ Het gewicht van het hout is uitgedrukt in m³. 3,96 dm³, de inhoud van het messenblok, moet naar m³ omgerekend worden.

1000 dm³ = 1 m³
3,96 dm³ = 0,00396 m³

→ Het hout weegt 1200 kg per m³. De inhoud van 0,00396 m³ weegt 1200 kg × 0,00396 m³ = 4,752 kg

→ De sleuven in het blok vormen 5% van de inhoud van het blok.

5% × 4,752 kg = 0,2376 kg

→ Het gewicht van het messenblok = 4,752 kg – 0,2376 kg = 4,5144 kg

Het gewicht van het messenblok is 4,5 kg (rond af op één decimaal).

→ Van een ander messenblok zijn de afmetingen de helft van die van het gegeven blok.

Het andere messenblok is een verkleining van het gegeven messenblok. De vergrotingsfactor k is ½ (=0,5).

→ De vraag is hoeveel gram het kleine messenblok weegt. Het gewicht is gekoppeld aan de inhoud.

inhoud beeld = k³ × inhoud origineel
het gewicht van het kleine messenblok = 0,5³ × 4,5144 kg = 0,5643 kg
0,5643 kg = 564,3 gram

→ Het kleine messenblok weegt 564 gram (rond af op gehelen).

Opgave 3.

→ inhoud cilinder = π × straal² × hoogte

→ De inhoud van de cilindervormige pijler = π × 10² × (40 + 18) = π × 10² × 58 ≈ 18221,2374

→ De inhoud van de cilindervormige pijler is 18.221 m³ (bereken in gehele m³).

→ inhoud kegel = ⅓ × π × straal² × hoogte

→ de inhoud van het reservoir = ⅓ × π × (92 ÷ 2)² × (64,8 + 18) = ⅓ × π × 46² × 82,8 ≈183474,03

→ De inhoud van het reservoir is 183.474 m³ (rond af op gehelen).

Opgave 5.

De drie formaten dozen zijn gelijkvormig.
Formaat A: 150 gram drop kan in deze doos zitten en de lengte van deze doos is 8 cm.
Formaat B: 540 gram drop kan in deze doos zitten.
Het gewicht is gekoppeld aan de inhoud.

→ Om de lengte van een doos van formaat B te berekenen, moet je eerst de vergrotingsfactor k hebben.

inhoud beeld = k³ × inhoud origineel
k = ³√(inhoud beeld ÷ inhoud origineel)
Als je een doos van formaat A als het origineel neemt,

k = ³√(540 ÷ 150) = ³√3,6 ≈ 1,533

→ De lengte van een doos van formaat B = k × de lengte van een doos van formaat A = ³√3,6 × 8 ≈ 12,26 cm.

→ De lengte van een doos van formaat B is 12,3 cm (rond af op één decimaal).

→ De hoeveelheid karton die nodig is voor de dozen betreft de oppervlakte van de dozen.

oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel
hoeveelheid karton voor een doos van formaat B = k² × hoeveelheid karton voor een doos van formaat A = (³√3,6)² × hoeveelheid karton voor een doos van formaat A
(³√3,6)² ≈ 2,349

→ Voor een doos van formaat B is 2,35 keer zoveel karton nodig als voor een doos van formaat A (rond af op twee decimalen).

→ Voor een doos van formaat C is tien keer zoveel karton nodig als voor een doos van formaat A.

hoeveelheid karton voor een doos van formaat C = k² × hoeveelheid karton voor een doos van formaat A
k² = 10
k =√10

→ Het gewicht van drop die gaat in een doos van formaat C:

inhoud beeld = k³ × inhoud origineel
Het gewicht van drop die gaat in een doos van formaat C = k³ × het gewicht van drop die gaat in een doos van formaat A = (√10)³ × 150 gram ≈ 4743,41

→ Het gewicht van drop die gaat in een doos van formaat C is 4740 gram (rond af op tientallen).

Opgave 6.

Raam A: ① rechthoekig, ② 80 cm hoog en ③ de oppervlakte 4000 cm²
Raam B: ① een verkleining van raam A en ② de oppervlakte 250 cm²

→ De vergrotingsfactor k:

oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel
k = √(oppervlakte beeld ÷ oppervlakte origineel) = √(250 ÷ 4000) = 0,25

→ De hoogte van raam B = k × de hoogte van raam A = 0,25 × 80 = 20 cm

→ De breedte van raam B = k × de breedte van raam A = 0,25 × 50 = 12,5 cm

De breedte van raam A = 4000 cm² ÷ 80 cm = 50 cm

Muur A: ① 3,2 meter bij 3,8 meter, ② voor muur A is 2,6 liter verf nodig
Muur B: ① een vergroting van muur A, ② voor muur B is 16,25 liter verf nodig

→ De vergrotingsfactor k:

oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel
Pas op: de verf wordt gebruikt voor de oppervlakte van de muur.
k = √(oppervlakte beeld ÷ oppervlakte origineel) = √(16,25 ÷ 2,6) ≈ 2,5

→ De breedte van muur B = k × de breedte van muur A = 2,5 × 3,8 meter = 9,5 meter

→ De hoogte van raam B = k × de hoogte van raam A = 2,5 × 3,2 meter = 8 meter

Opgave 7.

→ De inhoud van de sneeuwbal is met 75% afgenomen.

→ De inhoud van de gesmolten sneeuwbal = 25% van de inhoud van de originele sneeuwbal

inhoud beeld = k³ × inhoud origineel
k³ = 25% = 0,25
k = ³√0,25 ≈ 0,630
de straal van de gesmolten sneeuwbal = k × de straal van de originele sneeuwbal
percentuele afname = (afname ÷ OUD) × 100 % ← Zie: H6. blz.59

OUD = de staal van de originele sneeuwbal
afname = de straal van de originele sneeuwbal – de straal van de gesmolten sneeuwbal

= de straal van de originele sneeuwbal – (k × de straal van de originele sneeuwbal)
= de straal van de originele sneeuwbal(1 – k)

↑

ontbinden in factoren, gemeenschappelijke factor, Zie H7 blz. 107

afname ÷ OUD = {de straal van de originele sneeuwbal(1– k)} ÷ de straal van de originele sneeuwbal = 1– k
percentuele afname = (1 – k) × 100% = (1 – 0,630) × 100% = 0,370 × 100% = 37,0%

→ De straal van de sneeuwbal is met 37,0% afgenomen.

Inhoud bij vergroten (H8.5) - G&R 12de - VWO 2

(Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H8 Inhoud en vergroten)

H8.5 Inhoud bij vergroten

(61, 62, 63, 64, 69, 70)

Opgave 61.

→ De twee blikken zijn gelijkvormig. Als L het origineel is, dan is XL de vergroting van L.

Vergrotingsfactor k = afmeting beeld ÷ overeenkomstige afmeting origineel
De hoogte van blikformaat L (origineel) is 12 cm. Van formaat XL (beeld) is de hoogte 18 cm.
k = 18 cm ÷ 12 cm = 1,5

→ Om te bepalen welk blik de beste koop is, vergelijk je de prijzen van de inhoud van de twee blikken.

inhoud beeld = k³ × inhoud origineel
Als de kosten van de inhoud van een XL-blik meer dan 1,5³ keer de kosten van de inhoud van een L-blik zijn, dan is een blik van formaat L de beste koop.
Als de kosten van de inhoud van een XL-blik minder dan 1,5³ keer de kosten van de inhoud van een L-blik zijn, dan is een blik van formaat XL de beste koop.
Als de kostwn van de inhoud van een XL-blik gelijk is aan 1,5³ keer de kosten van de inhoud van een L-blik, dan is geen van de twee blikken de beste koop.

→ Een blik van formaat L kost 2,50 euro. Formaat XL kost 8,50 euro. De vergrotingsfactor k is 1,5.

2,50 × 1,5³ = 8,4375 → 8,40 euro
8,40 euro (1,5³ keer de kosten van een L-blik) < 8,50 euro (de kosten van een XL-blik)
Een blik van formaat L is de beste koop.

→ De materiaalkosten zijn proportioneel met de oppervlakte van het blik.

→ De materiaalkosten van een blik van formaat XL zijn 30 cent. De vergrotingsfactor k is 1,5.

De oppervlakte van een blik van formaat XL is zo groot als 1,5² keer de oppervlakte van een blik van formaat L.
De materiaalkosten van een blik van formaat L = de materiaalkosten van een blik van formaat XL ÷ 1,5² = 30 cent ÷ 1,5² ≈ 13,3 → 13 cent
De materiaalkosten van een blik van formaat L zijn 13 cent.

→ Het voer wordt in de blikken gedaan. Dus de inkoopkosten van het voer per blik betreffen de inhoud van het blik.

De inkoopkosten van het voer in formaat XL zijn 2 euro. De vergrotingsfactor k is 1,5.
De inhoud van een blik van formaat XL is zo groot als 1,5³ keer de inhoud van een blik van formaat L.
De inkoopkosten van het voer in formaat L = De inkoopkosten van het voer in formaat XL ÷ 1,5³ = 2 euro ÷ 1,5³ ≈ 0,592 → 0,59 euro

Opgave 62.

→ Pas op: er staat in de opgave "Geef je antwoorden zo mogelijk in meter, in m² of in m³".

→ Het echte vliegtuig Airbus A380 is een vergroting van het model. De vergrotingsfactor k is 35.

→ Het modelvliegtuig is 205,7 cm lang.

205,7 cm = 2,057 m

→ lengte beeld = k × lengte origineel

→ lengte van het echte vliegtuig = k × lengte van het modelvliegtuig

= 35 × 2,057 m = 71,995 m

→ De lengte van het echte vliegtuig is 72,0 m (rond af op één decimaal).

→ De brandstoftanks van het modelvliegtuig hebben een inhoud van 7463,6 cm³.

7463,6 cm³ = 0,0074636 m³

→ inhoud beeld = k³ × inhoud origineel

→ inhoud van de brandstoftanks van het echte vliegtuig = k³ × inhoud van de brandstoftanks van het model

inhoud van de brandstoftanks van het echte vliegtuig = 35³ × 0,0074636 m³ = 320,00185 m³

→ De inhoud van de brandstoftanks van het echte vliegtuig is 320,0 m³ (rond af op één decimaal).

→ Het vleugeloppervlak van het modelvliegtuig is 69,0 dm².

69 dm² = 0,69 m²

→ oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel

→ vleugeloppervlakte van het echte vliegtuig = k² × vleugeloppervlakte van het modelvliegtuig

vleugeloppervlakte van het echte vliegtuig = 35² × 0,69 m² = 845,25 m²

→ Het vleugeloppervlak van het echte vliegtuig is 845,3 m² (rond af op één decimaal).

→ De spanwijdte van het modelvliegtuig is 22,8 dm.

22,8 dm = 2,28 m

→ lengte beeld = k × lengte origineel

→ spanwijdte van het echte vliegtuig = k × spanwijdte van het modelvliegtuig

= 35 × 2,28 m = 79,8 m

→ De spanwijdte van het echte vliegtuig is 79,8 m (rond af op één decimaal).

→ De vleugels van het modelvliegtuig maken een hoek van 56,5º met de romp.

→ Het echte vliegtuig en het modelvliegtuig zijn gelijkvormige figuren. Als twee figuren gelijkvormig zijn, hebben de overeenkomstige hoeken dezelfde graden.

→ De vleugels van het echte vliegtuig maken ook (zoals bij het modelvliegtuig) een hoek van 56,5º met de romp.

Opgave 63.

→ De kleinere melkauto is een verkleining van de melkauto. De vergrotingsfactor k is 0,65.

→ De vraag van de opgave is hoeveel kleinere melkauto's nodig zijn om alle melk van de volledig gevulde melkauto over te pompen. Deze vraag betreft dus de inhoud van de melkauto.

Als je het benodigde aantal kleine melkauto's neemt als x,
x × inhoud van de kleine melkauto ≧ inhoud van de melkauto

x ≧ inhoud van de melkauto ÷ inhoud van de kleine melkauto

→ inhoud beeld = k³ × inhoud origineel

inhoud cilinder = π × straal² × hoogte
inhoud van de melkauto = π × (2,5 ÷ 2)² × 22 = 34,375π m³
inhoud van de kleine melkauto = 0,65³ × 34,375π
inhoud van de melkauto ÷ inhoud van de kleine melkauto = 34,375π ÷ (0,65³ × 34,375π) = 1 ÷ 0,65³ ≈ 3,64

→ Het aantal benodigde kleinere melkauto's is 4.

①Er wordt 10 liter melk per seconde overgepompt.
②Het wisselen van de kleine melkauto's neemt telkens 10 minuten in beslag.
③Om 14:30 uur is de eerste kleine melkauto aangesloten en begint het overpompen.

→ 1000 liter = 1 m³, dan 10 liter = 0,01 m³

→ Er wordt 0,01 m³ per seconde overgepompt.

inhoud van de kleine melkauto = 0,65³ × 34,375π m³
benodigde tijd om de melk naar één kleine melkauto over te pompen = (0,65³ × 34,375π m³) ÷ 0,01 m³ ≈ 2966 seconden
Om de melk naar één kleine melkauto over te pompen duurt het 2966 seconden.

→ inhoud van de melkauto – (3 × inhoud van de kleine melkauto) = de inhoud van de 4de kleine melkauto

34,375π m³ – (3 × 0,65³ × 34,375π m³) ≈ 19,02 m³
benodigde tijd om de melk naar de 4de kleine melkauto over te pompen = 19,02 m³ ÷ 0,01 m³ ≈ 1902 seconden

→ benodigde tijd om de melk naar 4 kleine melkauto's over te pompen = (3 × benodigde tijd om de melk naar één kleine melkauto over te pompen) + (3 × wisseltijd van 10 minuten) + benodigde tijd om de melk naar de 4de kleine melkauto over te pompen

benodigde tijd om de melk naar 4 kleine melkauto's over te pompen = (3 × 2966 seconden) + (3 × 10 × 60 seconden) + 1902 seconden = 8898 + 1800 + 1902 = 12600 seconden
12600 ÷ 60 = 210 minuten
210 minuten = 3 uur en 30 minuten

→ Om 14:30 uur is de eerste kleine melkauto aangesloten en begint het overpompen. 3 uur en 30 minuten later dan 14:30 is 18:00 uur.

→ De laatste druppel melk is overgepompt om 18:00 uur.

Opgave 64.

→ inhoud beeld = k³ × inhoud origineel

k = ³√(inhoud beeld ÷ inhoud origineel)

→ Een Matroeskja is een holle pop met daarin een reeks verkleiningen van de grootste pop.

→ De inhoud van de grootste pop op de foto is 500 cm³. De inhoud van de kleinste pop is 4 cm³.

k = ³√(inhoud beeld ÷ inhoud origineel) = ³√(4 ÷ 500) = 0,2

→ De vergrotingsfactor k is 0,2 (0,2 = ⅕).

Opgave 69.

→ Appartementencomplex II is een prisma. De inhoud van complex II kan berekend worden als oppervlakte grondvlak × hoogte.

Stap①. Bereken de oppervlakte van het grondvlak van Appartementencomplex II

oppervlakte rechthoek van 40 bij 32 meter – (oppervlakte blauwe driehoek + oppervlakte oranje driehoek) = (40 × 32) – {(½ × 20 × 8) + (½ × 4 × 40)} = 1120

Stap②. Bereken de inhoud van Appartementencomplex II

inhoud prisma = oppervlakte grondvlak × hoogte
De hoogte van Appartementencomplex II is 30 m.
inhoud van Appartementencomplex II = 1120 × 30 = 33.600

→ De inhoud van Appartementencomplex II is 33.600 m³.

→ Appartementencomplex I is een verkleining van complex II met een twee keer zo kleine inhoud als complex II.

inhoud van Appartementencomplex I × 2 = inhoud van Appartementencomplex II
inhoud beeld = k³ × inhoud origineel
k = ³√(inhoud beeld ÷ inhoud origineel)
inhoud van Appartementencomplex I = k³ × inhoud van Appartementencomplex II
k = ³√(inhoud van Appartementencomplex I ÷ inhoud van Appartementencomplex II)

inhoud van Appartementencomplex II = 33.600 m³.
inhoud van Appartementencomplex I = ½ × 33.600 = 16.800 m³
k = ³√(16800 ÷ 33600) ≈ 0,7937

→ De oppervlakte van het rechthoekige stuk grond van Appartementencomplex II is 40 × 32 = 1280 m².

oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel
oppervlakte van het rechthoekige stuk grond dat nodig is voor de bouw van complex I = 0,7937² × 1280 ≈ 806.35

→ De oppervlakte van het rechthoekige stuk grond dat nodig is voor de bouw van complex I is 806 m² (rond af op gehelen).

→ Appartementencomplex III is een vergroting van complex II. De oppervlakte van het grondstuk dat nodig is voor complex III is twee keer zo groot als de oppervlakte van het stuk grond waarop complex II is gebouwd.

oppervlakte grondstuk van Appartementencomplex II × 2 = oppervlakte grondstuk van Appartementencomplex III
oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel
k = √(oppervlakte beeld ÷ oppervlakte origineel)
oppervlakte grondstuk van Appartementencomplex III = k² × oppervlakte grondstuk van Appartementencomplex II
k = √(oppervlakte grondstuk van Appartementencomplex III ÷ oppervlakte grondstuk van Appartementencomplex II)

oppervlakte grondstuk van Appartementencomplex II = 40 × 32 = 1280 m².
oppervlakte grondstuk van Appartementencomplex III = 2 × 1280 = 2560 m²
k = √(2560 ÷ 1280) ≈ 1,4142

→ De inhoud van Appartementencomplex II is 33.600 m³.

inhoud beeld = k³ × inhoud origineel
inhoud van Appartementencomplex III = 1,4142³ × 33600 ≈ 95035,15

→ De inhoud van Appartementencomplex III is 95.035 m³ (rond af op gehelen).

→ Complex III is ook een vergroting van complex I.

→ De vergrotingsfactor k kan berekend worden uit de ① lengte of ② oppervlakte of ③inhoud van twee gelijkvormige figuren.

→ Met deze opgave is de oppervlakte van het rechthoekige stuk grond dat nodig is voor de bouw van Appartementencomplex gegeven.

De oppervlakte van het rechthoekige stuk grond dat nodig is voor de bouw van complex I is 806 m². ← van vraag b.
De oppervlakte van het grondstuk dat nodig is voor complex III is twee keer zo groot als de oppervlakte van het stuk grond waarop complex II is gebouwd. De oppervlakte van het grondstuk van Appartementencomplex III = 2 × 1280 = 2560 m² ← van vraag c
k = √(oppervlakte beeld ÷ oppervlakte origineel)
k = √(oppervlakte grondstuk van Appartementencomplex III ÷ oppervlakte grondstuk van Appartementencomplex I) = √ (2560 ÷ 806) ≈ 1,782

→ De vergrotingsfactor k is 1,8 (rond af op één decimaal).

Opgave 70.

Alle pylonen zijn vergrotingen van elkaar.
De grootste pylon in de figuur weegt 750 gram, is 65 cm hoog en heeft een middelste rode baan met een oppervlakte van 600 cm²
De kleinste is 48 cm hoog.

→ De grootste is 65 cm hoog en de kleinste 48 cm.

vergrotingsfactor k = afmeting beeld ÷ overeenkomstige afmeting origineel = 65 ÷ 48 ≈ 1,3542

→ Het gewicht is gekoppeld aan de inhoud. (Denk maar eens aan kg per liter.)

inhoud beeld = k³ × inhoud origineel
het gewicht van het grootste pylon = k³ × het gewicht van de kleinste pylon
het gewicht van de kleinste pylon = het gewicht van het grootste pylon ÷ k³ = 750 ÷ 1,3542³ ≈ 302,026 gram

→ Het gewicht van de kleinste pylon is 302,0 gram (rond af op één decimaal).

→ het gewicht van de pylon van 1150 gram = k³ × het gewicht van de grootste pylon in de figuur

k = ³√(1150 ÷ 750) ≈ 1,153

→ De grootste is 65 cm hoog.

afmeting beeld = k × overeenkomstige afmeting origineel
de hoogte van een pylon van 1150 gram = 1,153 × 65 ≈ 74,954 cm

→ De hoogte van een pylon van 1150 gram is 75,0 cm (rond af op één decimaal).

→ Vergrotingsfactor k = √(oppervlakte beeld ÷ oppervlakte origineel)

→ Van een pylon is de oppervlakte van de middelste rode baan 450 cm². De oppervlakte van de middelste rode baan van de grootste pylon is 600 cm².

k = √(450 ÷ 600) ≈ 0,866

→ het gewicht van de pylon met als oppervlakte van de middelste rode baan 450 cm² = k³ × het gewicht van de grootste pylon in de figuur

het gewicht van de pylon met als oppervlakte van de middelste rode baan 450 cm² = 0,866³ × 750 gram ≈ 487,14 gram

→ Het gewicht van de pylon met als oppervlakte van de middelste rode baan 450 cm² is 487 gram (rond af op gehelen).

maandag 3 mei 2021

Oppervlakte bij vergroten (H8.4) - deel 2- G&R 12de - VWO 2

( Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H8 Inhoud en vergroten)

H8.4 Oppervlakte bij vergroten - deel 2

(50 t/m 54)

Opgave 50.

→ De oppervlakte van de grootste vijver (= cirkel) = 2 × de oppervlakte van de kleinste vijver

→ oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel

oppervlakte cirkel = π•straal²
Neem de straal van de kleinste vijver als r₁ en de grootste als r₂:

πr₂² = 5(πr₁²) = k² × πr₁²
k² = 5πr₁² ÷ πr₁² =5
k = √5

De diameter van de kleinste vijver is 2,4 meter → de straal is dan 1,2 m.

πr₂² = k² × πr₁² = 5 × π(1,2)² = 7,2π
πr₂² = 7,2π
r₂² = 7,2
r₂ = √7,2

→ De diameter van de grote vijver = 2 × straal = 2 ×√7,2 ≈ 5, 3665
→ De diameter van de grote vijver is 5, 37 meter (rond af op twee decimalen).

※ Een andere manier om de diameter van de grote vijver te berekenen zonder vergrotingsfactor k te berekenen:

Je kunt een formule instellen vanuit het gegeven "de oppervlakte van de grootste is vijf keer zo groot als de oppervlakte van de kleinste".

πr₂² = 5(πr₁²) = 5(π × 1,2²) = 7,2π
πr₂² = 7,2π
r₂² = 7,2
r₂ = √7,2

Opgave 51.

De oppervlakte van lijst A is 150 cm².
De oppervlakte van lijst C is 1350 cm².
De afmetingen van lijst B is 20 bij 30 cm.

Stap①. Bereken eerst de vergrotingsfactor k.

→ oppervlakte lijst B = 20 × 30 = 600 cm²

→ oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel

→ Lijst B is origineel en lijst C is beeld. (Lijst C is een vergroting van lijst B.)

oppervlakte lijst C = k² × oppervlakte B

1350 = k² × 600
k = √(1350 ÷ 600) = 1,5

→ Vergrotingsfactor k is 1,5.

Stap②. Bereken de afmetingen van lijst C.

→ De breedte van lijst C = vergrotingsfactor k × de breedte van lijst B

= 1,5 × 20 = 30 cm

→ De lengte van lijst C = vergrotingsfactor k × de lengte van lijst B

= 1,5 × 30 = 45 cm

→ De afmetingen van lijst C zijn 30 bij 45 cm.

Stap①. Bereken eerst de vergrotingsfactor k.

→ oppervlakte lijst B = 20 × 30 = 600 cm²

→ oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel

→ Lijst B is origineel en lijst A is beeld. (Lijst A is een verkleining van lijst B.)

oppervlakte lijst A = k² × oppervlakte B

150 = k² × 600
k = √(150 ÷ 600) = 0,5

→ Vergrotingsfactor k is 0,5.

Stap②. Bereken de afmetingen van lijst A.

→ De breedte van lijst A = vergrotingsfactor k × de breedte van lijst B

= 0,5 × 20 = 10 cm

→ De lengte van lijst A = vergrotingsfactor k × de lengte van lijst B

= 0,5 × 30 = 15 cm

→ De afmetingen van lijst C zijn 10 bij 15 cm.

Opgave 52.

Stap①. Bereken eerst de vergrotingsfactor k.

→ De zeiloppervlakte van de kleine zeilboot is 2,8 m².

→ De zeiloppervlakte van het origineel = ½ × 2 × 4,8 = 4,8 m²

→ oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel

2,8 = k² × 4,8
k = √(2,8 ÷ 4,8)

Stap②. Bereken de afmetingen van het grootzeil van de kleine zeilboot.

→ De zeilbreedte van de kleine zeilboot = vergrotingsfactor k × de breedte van het origineel

= √(2,8 ÷ 4,8) × 2 ≈ 1,53 m

→ De zeillengte van de kleine zeilboot = vergrotingsfactor k × de lengte van het origineel

= √(2,8 ÷ 4,8) × 4,8 ≈ 3,67 m

→ De afmetingen van het grootzeil van de kleine zeilboot is 1,53 bij 3,67 m (rond af op twee decimalen).

Opgave 53.

Stap①. Bereken eerst de vergrotingsfactor k.

→ oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel

0,338 m² = k² × 845 m²
k = √(0,338 ÷ 845) = 0,02

Stap②. Bereken de lengte van het schaalmodel.
→ De lengte van het schaalmodel = vergrotingsfactor k × de lengte van het origineel
= 0,02 × 72,7

= 1.454 m

Stap①. Bereken eerst de vergrotingsfactor k.

→ De spanwijdte van een model is hoogstens 60% van de breedte van de windtunnel.

60% × 5 m = 0,6 × 5 m = 3 m

→ De maximale spanwijdte van een model is 3 m.

→ Vergrotingsfactor k = afmeting beeld ÷ overeenkomstige afmeting origineel

= 3 m ÷ 79,8 m = 3 ÷ 79,8

Stap②. Berekenen de maximale vleugeloppervlakte van een schaalmodel.

→ oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel

= (3 ÷ 79,8)² × 845 m²

≈ 1,194 m²

→ De maximale vleugeloppervlakte van een schaalmodel is 1,19 m² (rond af op twee decimalen).

Opgave 54.

Stap①. Bereken eerst de oppervlakte van verkeersbord I.

→ Verkeersbord I heeft een omtrek 270 cm en heeft de vorm van een gelijkzijdige driehoek.

Volgens de stelling van Pythagoras:

90² = (hoogte van bord I)² + 45²
hoogte van bord I = √(90² – 45²) = √6075 cm

→ oppervlakte van bord I = ½ × 90 × √6075

Stap②. Bereken de vergrotingsfactor k.

→ Verkeersbord II heeft een oppervlakte van 25 dm² en heeft ook de vorm van een gelijkzijdige driehoek.

→ 25 dm² = 2500 cm²

→ oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel

→ Neem: Bord I is origineel en bord II is beeld.

2500 cm² = k² × (½ × 90 × √6075) cm²

k = √(2500 ÷ (½ × 90 × √6075))

≈ 0,84426

Stap③. Bereken een zijde van bord II. De omtrek van bord II = 3 × een zijde.

→ Verkeersbord II heeft de vorm van een gelijkzijdige driehoek.

→ Een zijde van bord II = vergrotingsfactor k × een zijde van bord I

= √(2500 ÷ (½ × 90 × √6075)) × 90 cm

→ De omtrek van bord II is 3 × een zijde = 3 × (2500 ÷ (½ × 90 × √6075)) × 90 cm ≈ 227,950 cm.

→ De omtrek van bord II is 228 cm (rond af op gehelen).

Oppervlakte bij vergroten (H8.4) - deel 1- G&R 12de - VWO 2

( Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H8 Inhoud en vergroten)

H8.4 Oppervlakte bij vergroten - deel 1

(41, 44 t/m 47)

Opgave 41.

→ Stap①. Bereken eerst de vergrotingsfactor k, om de oppervlakte van logo II te berekenen

vergrotingsfactor k = afmeting beeld ÷ overeenkomstige afmeting origineel
Logo I is origineel en logo II is beeld.
k = 3,6 ÷ 4,4

→ Stap②. Gebruik de formule : oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel

oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel
oppervlakte origineel (logo I) is 10,2 cm²
oppervlakte logo II = (3,6 ÷ 4,4) × 10,2 cm² ≈ 6,828 cm²

→ De oppervlakte van logo II is 6,8 cm² (rond af op één decimaal).

Opgave 44.

[De toren van Hanoi]

→ De diameter van elke schijf: 2 cm, 2,2 cm, 2,4 cm 2,6 cm, 2,8 cm, 3 cm, 3,2 cm en 3,4 cm.

→ De straal van elke schijf: 1 cm, 1,1 cm, 1,2 cm 1,3 cm, 1,4 cm, 1,5 cm, 1,6 cm en 1,7 cm.

→ Omdat alle schijven even dik zijn, is de hoogte van elke schijf (= cilinder) hetzelfde als h.

→ Van de opgave weet je dat de kleinste schijf 15 gram weegt. Hieruit kun je berekenen hoeveel gram per cm³ de schijf weegt.

het gewicht van de kleinste schijf = het gewicht per cm³ × de inhoud van de kleinste schijf
de inhoud van de kleinste schijf = inhoud cilinder = π × straal² × h = π × 1² × h = πh
15 gram = x g/cm³ × de inhoud van de kleinste schijf = x g/cm³ × πh cm³
x = 15 ÷ πh
de schijf weegt 15 ÷ πh gram per cm³.

→ De som van het gewicht van de acht schijven

= (het gewicht per cm³ × inhoud schijf 1) + (het gewicht per cm³ × inhoud schijf 2) + (het gewicht per cm³ × inhoud schijf 3) + (het gewicht per cm³ × inhoud schijf 4) + (het gewicht per cm³ × inhoud schijf 5) + (het gewicht per cm³ × inhoud schijf 6) + (het gewicht per cm³ × inhoud schijf 7) + (het gewicht per cm³ × inhoud schijf 8)

= het gewicht per cm³•(inhoud schijf 1 + inhoud schijf 2 + inhoud schijf 3 + inhoud schijf 4 + inhoud schijf 5 + inhoud schijf 6 + inhoud schijf 7 + inhoud schijf 8)

= het gewicht per cm³•(π × 1² × h + π × 1,1² × h + π × 1,2² × h + π × 1,3² × h+ π × 1,4² × h+ π × 1,5² × h + π × 1,6² × h+ π × 1,7² × h)

= het gewicht per cm³•πh•(1² + 1,1² + 1,2² + 1,3² + 1,4² + 1,5² + 1,6² + 1,7² )

= (15 ÷ πh)•πh•(1² + 1,1² + 1,2² + 1,3² + 1,4² + 1,5² + 1,6² + 1,7² )

= 15•(1² + 1,1² + 1,2² + 1,3² + 1,4² + 1,5² + 1,6² + 1,7² ) = 225

→ De som van het gewicht van de acht schijven is 225 gram.

Opgave 45.

→ Het punt A is het midden van een zijde van de grote zeshoek. Het blauwe gebied heeft een oppervlakte van 15cm².

→ Stap①. Bereken eerst de vergrotingsfactor k.

vergrotingsfactor k = afmeting beeld ÷ overeenkomstige afmeting origineel
De kleine zeshoek is het origineel en de grote zeshoek is het beeld.
Neem een zijde van de kleine zeshoek als x, dan is een zijde van de grote zeshoek 2x.
k = x ÷ 2x = 2

→ Stap②. Gebruik de formule : oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel

oppervlakte van het blauwe gebied = oppervlakte van de grote zeshoek – oppervlakte van de kleine zeshoek
oppervlakte van de grote zeshoek = k² × oppervlakte van de kleine zeshoek
Het blauwe gebied heeft een oppervlakte van 15cm².
15 = (k² × oppervlakte van de kleine zeshoek) – oppervlakte van de kleine zeshoek
Neem oppervlakte van de kleine zeshoek als x.

15 = 2²•x – x
15 = 4x – x
15 = 3x
x = 5

De oppervlakte van de kleine zeshoek is 5 cm².

Opgave 46.

→ Stap①. Bereken eerst de vergrotingsfactor k.

De echte Boeing 737 is het origineel en het model is het vbeeld.
oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel
De echte Boeing 737 heeft een vleugeloppervlakte van 160 m². De vleugeloppervlakte van het model is 1000 cm².
1000 cm² = 0,1 m²
0,1 m² = k² × 160 m²

k = √(0,1 ÷ 160) = 0,025

→Stap②. Bereken de lengte en de spanwijdte van de echte Boeing 737

de lengte van de echte Boeing 737 × k = de lengte van het model

de lengte van de echte Boeing 737 = 0,9 m ÷ 0,025 = 36 m

de spanwijdte van de echte Boeing 737 × k = de spanwijdte van het model

de spanwijdte van de echte Boeing 737 = 0,85 m ÷ 0,025 = 34 m

Opgave 47.

→ De figuur bestaat uit een zwarte cirkel, een witte ring en een zwarte ring. Van beide ringen is de breedte gelijk aan de straal van de zwarte cirkel.

→ De oppervlakte van de zwarte cirkel = π•r² = πr²

→ De oppervlakte van de zwarte ring = π•(3r)² – π•(2r)² = 9πr² – 4πr² = 5πr²

→ Om de oppervlakte van de zwarte ring te krijgen moet je 5 vermenigvuldigen met de oppervlakte van de zwarte cirkel.

Vergroten en verkleinen (H8.3) - G&R 12de - VWO 2

( Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H8 Inhoud en vergroten)

H8.3 Vergroten en verkleinen

(33, 35 t/m 38)

Opgave 33.

→ Als je de lengte van het origineel en het vergrote deel meet,

→ Vergrotingsfactor k = afmeting beeld ÷ overeenkomstige afmeting origineel

= 6,4 cm ÷ 2 cm = 3,2

→ k = 3,2

→ De hoogte van de koffiebeker is 4,1 cm.

→ De hoogte van de beker in de vergroting

= de hoogte van de beker in het origineel × vergrotingsfactor k
= 4,1 cm × 3,2 = 13,12 cm

→ De hoogte van de beker in de vergroting is 13,1 cm (rond af op één decimaal).

Opgave 35.

→ Vergrotingsfactor k = afmeting beeld ÷ overeenkomstige afmeting origineel

= 0,5 ÷ 1,5 ≈ 0,3333

→ k = 0,33

→ De hoogte van het huis op de kleurplaat in de verkleining

= De hoogte van het huis op de kleurplaat × vergrotingsfactor k

→ De hoogte van het huis op de kleurplaat

= De hoogte van het huis op de kleurplaat in de verkleining ÷ vergrotingsfactor k

= 4,3 cm ÷ (0,5÷1,5) = 12,9 cm

→ De hoogte van het huis op de kleurplaat is 12,9 cm.

Opgave 36.

a.
→ ΔA'B'C' is een vergroting van ΔABC
→ Vergrotingsfactor k = afmeting beeld ÷ overeenkomstige afmeting origineel
= 2,7 ÷ 1,5 =1,8

→ De lengte van de zijde A'C' = de lengte van de zijde AC × vergrotingsfactor k
= 0,7 cm × 1,8 = 1,26 cm

c.
→ ΔA''B''C'' is een vergroting van ΔABC.
→ Vergrotingsfactor k = afmeting beeld ÷ overeenkomstige afmeting origineel
= 2,1 ÷ 0,7 = 3

→ De lengte van de zijde B''C'' = de lengte van de zijde BC × vergrotingsfactor k

= 1,5 cm × 3 = 4,5 cm

Opgave 37.

Vergrotingsfactor k = afmeting beeld ÷ overeenkomstige afmeting origineel

= 88 ÷ 10 = 8,8

→ De lengte van de poster = de lengte van de foto × vergrotingsfactor k

= 15 cm × 8,8 = 132 cm

Opgave 38.
→ De lijsten zijn:

80 bij 60 cm
81 bij 54 cm
100 bij 66 cm
109 bij 72 cm

→ De foto is 18 bij 12 cm. Sem wil de foto zo vergroten, dat de vergroting precies een lijst vult. Om aan deze voorwaarde te voldoen, moet lengte van de lijst : lengte van de foto = breedte van de lijst : breedte van de foto

80 : 18 ≠ 60 : 12
81 : 18 = 54 : 12
100 : 18 ≠ 66 : 12
109 : 18 ≠ 72 : 12

→ Sem moet de lijst van 81 bij 54 cm gebruiken.

woensdag 28 april 2021

Inhoud piramide en kegel (H8.2) - deel 2 - G&R 12de - VWO 2

( Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H8 Inhoud en vergroten)

H8.2 Inhoud piramide en kegel - deel 2

(22, 26 t/m 29)

Opgave 22.

→ De piramide van de opgave is als volgt: het grondvlak is een rechthoek van 24 bij 8 cm en de opstaande ribben zijn elk 13 cm.

→ Om de inhoud van de piramide te berekenen moet je de hoogte van de piramide weten.

→ De hoogte van de piramide kun je vinden met behulp van de stelling van Pythagoras.

Stap 1. Bepaal eerst de hoogte van de driehoek van een zijvlak.

De zijvlakken van de piramide bestaan uit twee vormen van gelijkbenige driehoek: een gelijkbenige driehoek van 24 bij 13 cm en een gelijkbenige driehoek van 8 bij 13 cm.

Omdat het een gelijkbenige driehoek is, heeft deze één symmetrieas. De hoek waar de symmetrieas doorheen gaat is de tophoek.

Met behulp van de stelling van Pythagoras kun je de hoogte van de gelijkbenige driehoek (zijvlak van de piramide) berekenen.

De hoogte van de gelijkbenige driehoek van 24 bij 13 cm = √(13² – 12²) = 5 cm. (Je kan ook de hoogte van de gelijkbenige driehoek van 8 bij 13 cm gebruiken om de hoogte van de piramide te vinden.)

Stap 2. Bereken de hoogte van de piramide.

Neem de hoogte van de piramide als x cm. Met gebruik van de stelling van Pythagoras:

5² = 4² + x²
x = √(5² – 4²) = √9 = 3

De hoogte van de piramide is 3 cm.

→ Je kunt nu de inhoud van de piramide berekenen.

Inhoud piramide = ⅓ × oppervlak grondvlak × hoogte
Oppervlak grondvlak van de piramide = 24 × 8 = 192
Inhoud van de piramide = ⅓ × (24 × 8) × 3 = 192
De inhoud van de piramide is 192 cm³.

Opgave 26.

→ inhoud kegel = ⅓ × π × straal² × hoogte

→ De inhoud van het potlood = de inhoud van de cilinder met hoogte 10 cm en diameter 1,5 cm + de inhoud van de kegel met hoogte 2 cm en diameter 1,5 cm

De inhoud van de cilinder met hoogte 10 cm en straal 0,75 cm ( = diameter 1,5 cm) = π × straal² × hoogte = π × 0,75² × 10 = 5,625π cm³

De inhoud van de kegel met hoogte 2 cm en straal 0,75 cm (= diameter 1,5 cm) = ⅓ × π × straal² × hoogte = ⅓ × π × 0,75² × 2 = 0,375π cm³

De inhoud van het potlood = 5,625π cm³ + 0,375π cm³ = 6π cm³ ≈ 18,8495 cm³

De inhoud van het potlood is 18,85 cm³ (rond af op twee decimalen).

→ Om het gewicht van het potlood in deze opgave te berekenen moet je ① het gewicht van het hout van het potlood en ② het gewicht van de stift optellen.

Stap①. Bepaal het gewicht van het hout van het potlood.

De inhoud van het potlood is de som van de inhoud van het hout en de inhoud van de stift. Van de opgave weet je dat de inhoud van de stift van het potlood 2,3 cm³ is.
De inhoud van het hout van het potlood = 6π cm³ – 2,3 cm³
Het potlood is gemaakt van hout dat 0,9 gram per cm³ weegt.
Het gewicht van het hout van het potlood = de inhoud van het hout van het potlood × 0,9 gram/cm³ = (6π cm³ – 2,3 cm³) × 0,9 gram/cm³ ≈ 14,895 gram

Stap②. Bepaal het gewicht van de stift van het potlood.

De stift weegt 1,2 gram per cm³.
De inhoud van de stift van het potlood is 2,3 cm³.
Het gewicht van de stift van het potlood = 2,3 cm³ × 1,2 gram/cm³ = 2,76 gram

Stap③. Tel het gewicht van het hout en het gewicht van de stift op.

Het gewicht van het hout + het gewicht van de stift = 14,895 gram + 2,76 gram ≈ 17,655 gram
Het potlood weegt 17,7 gram (rond af op één decimaal).

Opgave 27.

→ Het hoorntje is tot de rand gevuld met ijs. Dit betekent dat het hoorntje een kegel is.

→ Om het gewicht van het ijs te berekenen moet je eerst de inhoud van het hoorntje (= een kegel) weten, omdat in de opgave het gewicht van het ijs per liter (1 liter = 1.000 cm³) gegeven is.

→ inhoud kegel = ⅓ × π × straal² × hoogte

Stap①. Bepaal eerst de hoogte van het hoorntje.

In de opgave zie je geen hoogte van het hoorntje. Je moet deze zelf berekenen met behulp van de stelling van Pythagoras.

In de bovenstaande figuur is x cm de hoogte van het hoorntje. De doorsnede van de top van de kegel tot het grondvlak wordt een gelijkbenige driehoek. Omdat het een gelijkbenige driehoek is, heeft deze één symmetrieas.

Volgens de stelling van Pythagoras,

18² = x² + 4²
x = √ (18² – 4²) = √308

De hoogte van het hoorntje is √308 cm.

Stap②. Bereken de inhoud van het hoorntje.

inhoud kegel = ⅓ × π × straal² × hoogte
De inhoud van het hoorntje = ⅓× π × 4² × √308 ≈ 294,052 cm³

Stap③. Bereken het gewicht van het ijs dat in het hoorntje zit.

Het ijs weegt 650 gram per liter volgens de opgave.
De inhoud van het hoorntje is 294,052 cm³.
294,052 cm³ is 0,294052 liter, omdat 1 liter = 1.000 cm³.
Het gewicht van het ijs dat in het hoorntje zit = 650 gram/liter × 0,294052 liter ≈ 191,13 gram
Het gewicht van het ijs dat in het hoorntje zit is 191 gram (rond af op gehelen).

Opgave 28.

Stap①. Bepaal eerst de inhoud van de onderste kegel (= de inhoud van de bovenste kegel).

De hoogte van de onderste kegel = ½ × 25 = 12,5 cm.
De inhoud van de onderste kegel = ⅓ × π × straal² × hoogte = ⅓ × π × 5² × 12,5 ≈ 327,25 cm³.

Stap②. Bereken hoeveel gram zand er in de onderste kegel zit.

De onderste kegel is geheel gevuld met zand dat 1,5 kg per dm³ weegt.
De inhoud van de onderste kegel is 327,25 cm³.
327,25 cm³ is 0,32725 dm³, omdat 1 dm³ = 1.000 cm³
Hoeveel gram zand er in de onderste kegel zit = 1,5 kg/dm³ × 0,32725 dm³ = 0,490875 kg = 490,875 gram.

Stap③. Bereken hoeveel gram zand er per seconde door de opening van de zandloper stroomt.

Na het omdraaien van de zandloper duurt het 5 minuten tot het zand in de andere kegel is gelopen.
Hoeveel gram zand er in de onderste kegel zit = 1,5 kg/dm³ × 0,32725 dm³ = 0,490875 kg
0,490875 kg = 490,875 gram
5 minuten = 300 seconden
De doorstroomsnelheid = 490,875 gram ÷ 300 seconden = 1,636 g/sec
De doorstroomsnelheid is 1,64 gram per seconde (rond af op twee decimalen).

Opgave 29.

→ De hoogte van een kegel is 3 keer de hoogte van een cilinder. De inhoud van de kegel is dezelfde als de inhoud van de cilinder.

→ Neem de straal van de kegel als r₁ en de straal van de cilinder als r₂. En neem de hoogte van de kegel als h.

inhoud kegel = ⅓ × π × straal² × hoogte
inhoud cilinder = π × straal² × hoogte
Omdat de inhoud van de kegel dezelfde is als de inhoud van de cilinder en de hoogte van de kegel 3 keer de hoogte van de cilinder, ⅓ × π × r₁² × 3h = π × r₂² × h

⅓ × π × r₁² × 3h = π × r₂² × h ← ⅓ × 3 = 1
π × r₁² × h = π × r₂² × h ← Deel beide zijden door π
r₁² × h = r₂² × h ← Deel beide zijden door h
r₁² = r₂² ← Uiteindelijk blijven in de formule de straal van de kegel r₁ en de straal van de cilinder r₂ over.

→ r₁² = r₂² , waarvan r₁ de straal van de kegel en r₂ de straal van de cilinder is.
→ De straal van de kegel en de straal van de cilinder zijn gelijk.

→ De straal van een kegel is 3 keer de diameter van een cilinder (= 6 keer de straal van een cilinder).

→ Neem de straal van de cilinder als r.

De straal van een kegel = 6r

→ Neem de straal van de cilinder als r. En neem de hoogte van de kegel als h₁ en de hoogte van de cilinder als h₂.

inhoud kegel = ⅓ × π × straal² × hoogte
inhoud cilinder = π × straal² × hoogte
Omdat de inhoud van de kegel dezelfde is als de inhoud van de cilinder en de straal van de kegel 6r is, ⅓ × π × (6r)² × h₁ = π × r² × h₂

⅓ × π × 36r² × h₁ = π × r² × h₂   ← ⅓ × 36 = 12
π × 12r² × h₁ = π × r² × h₂   ← Deel beide zijden door π
12r² × h₁ =  r² × h₂    ← Deel beide zijden door r²
12 × h₁ =  h₂ ← Uiteindelijk blijven in de formule de hoogte van de kegel h₁ en de hoogte van de cilinder h₂ over.

→ 12h₁ = h₂ , waarvan h₁ is de hoogte van de kegel en h₂ de hoogte van de cilinder.
→ hoogte cilinder (h₂) is 12 keer hoogte kegel (h₁).

Wiskunde Huiswerkhulp (#Gymnasium)

Pagina's

vrijdag 21 mei 2021

Diagnostische toets - H8 Inhoud en vergroten - G&R 12de - VWO 2

Diagnostische toets - H8.

Gemengde opgaven - H8 Inhoud en vergroten - G&R 12de - VWO 2

Gemengde Opgaven H8.

Inhoud bij vergroten (H8.5) - G&R 12de - VWO 2

H8.5 Inhoud bij vergroten

maandag 3 mei 2021

Oppervlakte bij vergroten (H8.4) - deel 2- G&R 12de - VWO 2

H8.4 Oppervlakte bij vergroten - deel 2

Oppervlakte bij vergroten (H8.4) - deel 1- G&R 12de - VWO 2

H8.4 Oppervlakte bij vergroten - deel 1

Vergroten en verkleinen (H8.3) - G&R 12de - VWO 2

H8.3 Vergroten en verkleinen

woensdag 28 april 2021

Inhoud piramide en kegel (H8.2) - deel 2 - G&R 12de - VWO 2

H8.2 Inhoud piramide en kegel - deel 2

Hoofdstuk 2 Gelijkvormigheid - Uitleg Opgave 43