Oppervlakte bij vergroten (H8.4) - deel 2- G&R 12de - VWO 2

      ( Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H8 Inhoud en vergroten)

H8.4 Oppervlakte bij vergroten - deel 2

(50 t/m 54)

Opgave 50.

→ De oppervlakte van de grootste vijver (= cirkel) = 2 × de oppervlakte van de kleinste vijver

→ oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel

• oppervlakte cirkel = π•straal²
• Neem de straal van de kleinste vijver als r₁ en de grootste als r₂:

πr₂² = 5(πr₁²) = k² × πr₁²

k² = 5πr₁² ÷ πr₁² =5

k  = √5

• De diameter van de kleinste vijver is 2,4 meter → de straal is dan 1,2 m.

πr₂² = k² × πr₁² = 5 × π(1,2)²  = 7,2π

πr₂² = 7,2π

r₂² = 7,2

r₂ = √7,2 

→ De diameter van de grote vijver = 2 × straal = 2 ×√7,2 ≈ 5, 3665
→ De diameter van de grote vijver is 5, 37 meter (rond af op twee decimalen).

 

※ Een andere manier om de diameter van de grote vijver te berekenen zonder vergrotingsfactor k te berekenen: 

• Je kunt een formule instellen vanuit het gegeven "de oppervlakte van de grootste is vijf keer zo groot als de oppervlakte van de kleinste".

πr₂² = 5(πr₁²) = 5(π × 1,2²) = 7,2π

πr₂² = 7,2π

r₂² = 7,2

r₂ = √7,2

Opgave 51.

• De oppervlakte van lijst A is 150 cm².
• De oppervlakte van lijst C is 1350 cm².
• De afmetingen van lijst B is 20 bij 30 cm.

a.

Stap①. Bereken eerst de vergrotingsfactor k.

→ oppervlakte lijst B = 20 × 30 = 600 cm²

→ oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel

→ Lijst B is origineel en lijst C is beeld. (Lijst C is een vergroting van lijst B.)

• oppervlakte lijst C = k² × oppervlakte B

1350 = k² × 600

k = √(1350 ÷ 600) = 1,5

→ Vergrotingsfactor k is 1,5.

Stap②. Bereken de afmetingen van lijst C.

→ De breedte van lijst C = vergrotingsfactor k × de breedte van lijst B

                                        = 1,5 × 20 = 30 cm

→ De lengte van lijst C = vergrotingsfactor k × de lengte van lijst B

                                      =  1,5 × 30 = 45 cm

→ De afmetingen van lijst C zijn 30 bij 45 cm.

b.

Stap①. Bereken eerst de vergrotingsfactor k.

→ oppervlakte lijst B = 20 × 30 = 600 cm²

→ oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel

→ Lijst B is origineel en lijst A is beeld. (Lijst A is een verkleining van lijst B.)

• oppervlakte lijst A = k² × oppervlakte B

150 = k² × 600

k = √(150 ÷ 600) = 0,5

→ Vergrotingsfactor k is 0,5.

Stap②. Bereken de afmetingen van lijst A.

→ De breedte van lijst A = vergrotingsfactor k × de breedte van lijst B

                                        = 0,5 × 20 = 10 cm

→ De lengte van lijst A = vergrotingsfactor k × de lengte van lijst B

                                      =  0,5 × 30 = 15 cm

→ De afmetingen van lijst C zijn 10 bij 15 cm.

Opgave 52.

Stap①. Bereken eerst de vergrotingsfactor k.

→ De zeiloppervlakte van de kleine zeilboot is 2,8 m².

→ De zeiloppervlakte van het origineel = ½ × 2 × 4,8 = 4,8 m²

→ oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel

2,8 = k² × 4,8

k = √(2,8 ÷ 4,8) 

Stap②. Bereken de afmetingen van het grootzeil van de kleine zeilboot.

→ De zeilbreedte van de kleine zeilboot = vergrotingsfactor k × de breedte van het origineel

                                        = √(2,8 ÷ 4,8) × 2 ≈ 1,53  m

→ De zeillengte van de kleine zeilboot = vergrotingsfactor k × de lengte van het origineel

                                      =  √(2,8 ÷ 4,8) × 4,8 ≈ 3,67 m

→ De afmetingen van het grootzeil van de kleine zeilboot is 1,53 bij 3,67 m (rond af op twee decimalen). 

Opgave 53.

a.

Stap①. Bereken eerst de vergrotingsfactor k.

→ oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel

0,338 m² = k² × 845 m²

k = √(0,338 ÷ 845) = 0,02

Stap②. Bereken de lengte van het schaalmodel.
→ De lengte van het schaalmodel = vergrotingsfactor k × de lengte van het origineel
                                                       = 0,02 × 72,7

                                                       = 1.454 m

b.

Stap①. Bereken eerst de vergrotingsfactor k.

→ De spanwijdte van een model is hoogstens 60% van de breedte van de windtunnel.

60% × 5 m = 0,6 × 5 m = 3 m

→ De maximale spanwijdte van een model is 3 m.

→ Vergrotingsfactor k = afmeting beeld ÷ overeenkomstige afmeting origineel

                                    = 3 m ÷ 79,8 m = 3 ÷ 79,8

Stap②. Berekenen de maximale vleugeloppervlakte van een schaalmodel.

→ oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel

                                   = (3 ÷ 79,8)² × 845 m²

                                   ≈ 1,194 m²

→ De maximale vleugeloppervlakte van een schaalmodel is 1,19 m² (rond af op twee decimalen).

Opgave 54.

Stap①. Bereken eerst de oppervlakte van verkeersbord I.

→ Verkeersbord I heeft een omtrek 270 cm en heeft de vorm van een gelijkzijdige driehoek.

• Volgens de stelling van Pythagoras:

90² = (hoogte van bord I)² + 45² 

hoogte van bord I = √(90² – 45²) = √6075 cm

→ oppervlakte van bord I = ½ × 90 × √6075

Stap②. Bereken de vergrotingsfactor k.

→ Verkeersbord II heeft een oppervlakte van 25 dm² en heeft ook de vorm van een gelijkzijdige driehoek.

→ 25 dm² = 2500 cm²

→ oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel

→ Neem: Bord I is origineel en bord II is beeld.

     2500 cm² = k² ×  (½ × 90 × √6075) cm²

     k = √(2500 ÷ (½ × 90 × √6075))

         ≈ 0,84426

Stap③. Bereken een zijde van bord II. De omtrek van bord II = 3 × een zijde. 

→ Verkeersbord II  heeft de vorm van een gelijkzijdige driehoek.

 → Een zijde van bord II = vergrotingsfactor k × een zijde van bord I

                                        = √(2500 ÷ (½ × 90 × √6075)) × 90 cm

→ De omtrek van bord II is 3 × een zijde = 3 × (2500 ÷ (½ × 90 × √6075)) × 90 cm ≈ 227,950 cm.

→ De omtrek van bord II is 228 cm (rond af op gehelen).

Oppervlakte bij vergroten (H8.4) - deel 1- G&R 12de - VWO 2

     ( Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H8 Inhoud en vergroten)

H8.4 Oppervlakte bij vergroten - deel 1

(41, 44 t/m 47)

Opgave 41.

→ Stap①. Bereken eerst de vergrotingsfactor k, om de oppervlakte van logo II te berekenen

• vergrotingsfactor k = afmeting beeld ÷ overeenkomstige afmeting origineel 
•  Logo I is origineel en logo II is beeld.
• k = 3,6 ÷ 4,4

→ Stap②. Gebruik de formule : oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel

• oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel 
• oppervlakte origineel (logo I) is 10,2 cm²
• oppervlakte logo II = (3,6 ÷ 4,4) × 10,2 cm² ≈ 6,828 cm²

→ De oppervlakte van logo II is 6,8 cm² (rond af op één decimaal).

Opgave 44.

[De toren van Hanoi]

→ De diameter van elke schijf: 2 cm, 2,2 cm, 2,4 cm 2,6 cm, 2,8 cm, 3 cm, 3,2 cm en 3,4 cm.

→ De straal van elke schijf: 1 cm, 1,1 cm, 1,2 cm 1,3 cm, 1,4 cm, 1,5 cm, 1,6 cm en 1,7 cm.

→ Omdat alle schijven even dik zijn, is de hoogte van elke schijf (= cilinder) hetzelfde als h.

→ Van de opgave weet je dat de kleinste schijf 15 gram weegt. Hieruit kun je berekenen hoeveel gram per cm³ de schijf weegt.

• het gewicht van de kleinste schijf = het gewicht per cm³ × de inhoud van de kleinste schijf 
• de inhoud van de kleinste schijf = inhoud cilinder = π × straal² × h = π × 1² × h = πh
• 15 gram = x g/cm³ × de inhoud van de kleinste schijf = x g/cm³ × πh cm³
• x   = 15 ÷  πh
• de schijf weegt 15 ÷  πh gram per cm³.

→ De som van het gewicht van de acht schijven

     = (het gewicht per cm³ × inhoud schijf 1) + (het gewicht per cm³ × inhoud schijf 2) + (het gewicht per cm³ × inhoud schijf 3) + (het gewicht per cm³ × inhoud schijf 4) + (het gewicht per cm³ × inhoud schijf 5) + (het gewicht per cm³ × inhoud schijf 6) + (het gewicht per cm³ × inhoud schijf 7) + (het gewicht per cm³ × inhoud schijf 8) 

 = het gewicht per cm³•(inhoud schijf 1 + inhoud schijf 2 + inhoud schijf 3 + inhoud schijf 4 + inhoud schijf 5 + inhoud schijf 6 + inhoud schijf 7 + inhoud schijf 8)

= het gewicht per cm³•(π × 1² × h + π × 1,1² × h + π × 1,2² × h + π × 1,3² × h+ π × 1,4² × h+ π × 1,5² × h + π × 1,6² × h+ π × 1,7² × h)

= het gewicht per cm³•πh•(1² + 1,1² + 1,2² + 1,3² + 1,4² + 1,5² + 1,6² + 1,7² )

= (15 ÷  πh)•πh•(1² + 1,1² + 1,2² + 1,3² + 1,4² + 1,5² + 1,6² + 1,7² )

= 15•(1² + 1,1² + 1,2² + 1,3² + 1,4² + 1,5² + 1,6² + 1,7² ) = 225

→ De som van het gewicht van de acht schijven is 225 gram.

Opgave 45.

→ Het punt A is het midden van een zijde van de grote zeshoek. Het blauwe gebied heeft een oppervlakte van 15cm².

→ Stap①. Bereken eerst de vergrotingsfactor k.

• vergrotingsfactor k = afmeting beeld ÷ overeenkomstige afmeting origineel 
• De kleine zeshoek is het origineel en de grote zeshoek is het beeld.
• Neem een zijde van de kleine zeshoek als x, dan is een zijde van de grote zeshoek 2x. 
• k = x ÷ 2x = 2

→ Stap②. Gebruik de formule : oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel

• oppervlakte van het blauwe gebied = oppervlakte van de grote zeshoek – oppervlakte van de kleine zeshoek
• oppervlakte van de grote zeshoek = k² × oppervlakte van de kleine zeshoek
• Het blauwe gebied heeft een oppervlakte van 15cm².
• 15 = (k² × oppervlakte van de kleine zeshoek) – oppervlakte van de kleine zeshoek
• Neem oppervlakte van de kleine zeshoek als x.

15 = 2²•x – x

15 = 4x – x

15 = 3x

x = 5

• De oppervlakte van de kleine zeshoek is 5 cm².

Opgave 46.

→ Stap①. Bereken eerst de vergrotingsfactor k.

• De echte Boeing 737 is het origineel en het model is het vbeeld.
• oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel
• De echte Boeing 737 heeft een vleugeloppervlakte van 160 m². De vleugeloppervlakte van het model is 1000 cm². 
• 1000 cm² = 0,1 m²
• 0,1 m² = k² × 160 m²

k = √(0,1 ÷ 160) = 0,025

→Stap②. Bereken de lengte en de spanwijdte van de echte Boeing 737

• de lengte van de echte Boeing 737 × k = de lengte van het model

de lengte van de echte Boeing 737 = 0,9 m ÷ 0,025 = 36 m

• de spanwijdte van de echte Boeing 737 × k = de spanwijdte van het model

de spanwijdte van de echte Boeing 737 = 0,85 m ÷ 0,025 = 34 m

Opgave 47.

→ De figuur bestaat uit een zwarte cirkel, een witte ring en een zwarte ring. Van beide ringen is de breedte gelijk aan de straal van de zwarte cirkel.

→ De oppervlakte van de zwarte cirkel = π•r² = πr²

→ De oppervlakte van de zwarte ring = π•(3r)² –  π•(2r)² = 9πr² – 4πr² = 5πr²

→ Om de oppervlakte van de zwarte ring te krijgen moet je 5 vermenigvuldigen met de oppervlakte van de zwarte cirkel.

Vergroten en verkleinen (H8.3) - G&R 12de - VWO 2

    ( Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H8 Inhoud en vergroten)

H8.3 Vergroten en verkleinen

(33, 35 t/m 38)

Opgave 33.

a. 

→ Als je de lengte van het origineel en het vergrote deel meet,

→ Vergrotingsfactor k = afmeting beeld ÷ overeenkomstige afmeting origineel

                                     = 6,4 cm ÷ 2 cm = 3,2

→ k = 3,2

b.

→ De hoogte van de koffiebeker is 4,1 cm.

→ De hoogte van de beker in de vergroting 

= de hoogte van de beker in het origineel × vergrotingsfactor k 

= 4,1 cm × 3,2 = 13,12 cm

→ De hoogte van de beker in de vergroting is 13,1 cm (rond af op één decimaal).

Opgave 35.

a.

→ Vergrotingsfactor k = afmeting beeld ÷ overeenkomstige afmeting origineel

                                    = 0,5 ÷ 1,5 ≈ 0,3333

→ k = 0,33

b.

→ De hoogte van het huis op de kleurplaat in de verkleining 

     = De hoogte van het huis op de kleurplaat × vergrotingsfactor k 

→ De hoogte van het huis op de kleurplaat  

     = De hoogte van het huis op de kleurplaat in de verkleining ÷ vergrotingsfactor k 

     = 4,3 cm ÷ (0,5÷1,5) = 12,9 cm

→ De hoogte van het huis op de kleurplaat is 12,9 cm.

Opgave 36.

a.
→ ΔA'B'C' is een vergroting van ΔABC
→ Vergrotingsfactor k = afmeting beeld ÷ overeenkomstige afmeting origineel
                                    = 2,7 ÷ 1,5 =1,8

b.

→ De lengte van de zijde A'C' = de lengte van de zijde AC × vergrotingsfactor k
                                                 = 0,7 cm × 1,8 = 1,26 cm

c.
→ ΔA''B''C'' is een vergroting van ΔABC.
→ Vergrotingsfactor k = afmeting beeld ÷ overeenkomstige afmeting origineel
                                    = 2,1 ÷ 0,7 = 3

d.

→ De lengte van de zijde B''C'' = de lengte van de zijde BC × vergrotingsfactor k

                                                 = 1,5 cm × 3 = 4,5 cm

Opgave 37.

a. 

Vergrotingsfactor k = afmeting beeld ÷ overeenkomstige afmeting origineel

                                    = 88 ÷ 10 = 8,8

b.

→ De lengte van de poster = de lengte van de foto × vergrotingsfactor k

                                                 = 15 cm × 8,8 = 132 cm

Opgave 38.
→ De lijsten zijn:

• 80 bij 60 cm
• 81 bij 54 cm
• 100 bij 66 cm
• 109 bij 72 cm

→ De foto is 18 bij 12 cm. Sem wil de foto zo vergroten, dat de vergroting precies een lijst vult. Om aan deze voorwaarde te voldoen, moet lengte van de lijst : lengte van de foto = breedte van de lijst : breedte van de foto

• 80 : 18 ≠  60 : 12
• 81 : 18 =  54 : 12
• 100 : 18 ≠  66 : 12
• 109 : 18 ≠  72 : 12

→ Sem moet de lijst van 81 bij 54 cm gebruiken.

Inhoud piramide en kegel (H8.2) - deel 2 - G&R 12de - VWO 2

    ( Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H8 Inhoud en vergroten)

H8.2 Inhoud piramide en kegel - deel 2

(22, 26 t/m 29)

Opgave 22.

→ De piramide van de opgave is als volgt: het grondvlak is een rechthoek van 24 bij 8 cm en de opstaande ribben zijn elk 13 cm.

→ Om de inhoud van de piramide te berekenen moet je de hoogte van de piramide weten.

→ De hoogte van de piramide kun je vinden met behulp van de stelling van Pythagoras. 

      Stap 1. Bepaal eerst de hoogte van de driehoek van een zijvlak.

• De zijvlakken van de piramide bestaan uit twee vormen van gelijkbenige driehoek:  een gelijkbenige driehoek van 24 bij 13 cm en een gelijkbenige driehoek van 8 bij 13 cm.
• Omdat het een gelijkbenige driehoek is, heeft deze één symmetrieas. De hoek waar de symmetrieas doorheen gaat is de tophoek. 
• Met behulp van de stelling van Pythagoras kun je de hoogte van de gelijkbenige driehoek (zijvlak van de piramide) berekenen.

• De hoogte van de gelijkbenige driehoek van 24 bij 13 cm = √(13² – 12²) = 5 cm. (Je kan ook de hoogte van de gelijkbenige driehoek van 8 bij 13 cm gebruiken om de hoogte van de piramide te vinden.)

        Stap 2. Bereken de hoogte van de piramide.

                     Neem de hoogte van de piramide als x cm. Met gebruik van de stelling van Pythagoras:   

5² = 4² + x²

x = √(5² – 4²) = √9 = 3

                    De hoogte van de piramide is 3 cm. 

→ Je kunt nu de inhoud van de piramide berekenen. 

• Inhoud piramide = ⅓ × oppervlak grondvlak × hoogte
• Oppervlak grondvlak van de piramide = 24 × 8 = 192
• Inhoud van de piramide = ⅓ × (24 × 8) × 3 = 192
• De inhoud van de piramide is 192 cm³.

 

Opgave 26.

 a.

→ inhoud kegel = ⅓ × π × straal² × hoogte

→ De inhoud van het potlood = de inhoud van de cilinder met hoogte 10 cm en diameter 1,5 cm + de inhoud van de kegel met hoogte 2 cm en diameter 1,5 cm

• De inhoud van de cilinder met hoogte 10 cm en straal 0,75 cm ( = diameter 1,5 cm)  = π × straal² × hoogte = π × 0,75² × 10 = 5,625π cm³

• De inhoud van de kegel met hoogte 2 cm en straal 0,75 cm (= diameter 1,5 cm) = ⅓ × π × straal² × hoogte = ⅓ × π × 0,75² × 2 = 0,375π cm³

• De inhoud van het potlood = 5,625π cm³ +  0,375π cm³ = 6π cm³ ≈ 18,8495 cm³

• De inhoud van het potlood is 18,85 cm³ (rond af op twee decimalen).

b.

→ Om het gewicht van het potlood in deze opgave te berekenen moet je ① het gewicht van het hout van het potlood en ② het gewicht van de stift optellen.

Stap①. Bepaal het gewicht van het hout van het potlood. 

• De inhoud van het potlood is de som van de inhoud van het hout en de inhoud van de stift. Van de opgave weet je dat de inhoud van de stift van het potlood 2,3 cm³ is.
• De inhoud van het hout van het potlood = 6π cm³  – 2,3 cm³
• Het potlood is gemaakt van hout dat 0,9 gram per cm³ weegt. 
• Het gewicht van het hout van het potlood = de inhoud van het hout van het potlood × 0,9 gram/cm³ = (6π cm³  – 2,3 cm³) × 0,9 gram/cm³  ≈ 14,895 gram

Stap②. Bepaal het gewicht van de stift van het potlood.

• De stift weegt 1,2 gram per cm³.
• De inhoud van de stift van het potlood is 2,3 cm³.
• Het gewicht van de stift van het potlood = 2,3 cm³ × 1,2 gram/cm³ = 2,76 gram

Stap③. Tel het gewicht van het hout en het gewicht van de stift op. 

• Het gewicht van het hout + het gewicht van de stift = 14,895 gram +  2,76 gram ≈ 17,655 gram
• Het potlood weegt 17,7 gram (rond af op één decimaal).

Opgave 27.

→ Het hoorntje is tot de rand gevuld met ijs. Dit betekent dat het hoorntje een kegel is.

→ Om het gewicht van het ijs te berekenen moet je eerst de inhoud van het hoorntje (= een kegel) weten, omdat in de opgave het gewicht van het ijs per liter (1 liter = 1.000 cm³) gegeven is.

→   inhoud kegel = ⅓ × π × straal² × hoogte

Stap①. Bepaal eerst de hoogte van het hoorntje.

• In de opgave zie je geen hoogte van het hoorntje. Je moet deze zelf berekenen met behulp van de stelling van Pythagoras.

• In de bovenstaande figuur is x cm de hoogte van het hoorntje. De doorsnede van de top van de kegel tot het grondvlak wordt een gelijkbenige driehoek. Omdat het een gelijkbenige driehoek is, heeft deze één symmetrieas. 

• Volgens de stelling van Pythagoras,

 18² = x² + 4²
  x = √ (18² – 4²) = √308

• De hoogte van het hoorntje is √308 cm.

Stap②. Bereken de inhoud van het hoorntje.

•  inhoud kegel = ⅓ × π × straal² × hoogte
• De inhoud van het hoorntje = ⅓× π × 4² × √308 ≈ 294,052 cm³

Stap③. Bereken het gewicht van het ijs dat in het hoorntje zit.

• Het ijs weegt 650 gram per liter volgens de opgave.
• De inhoud van het hoorntje is 294,052 cm³.  
• 294,052 cm³ is 0,294052 liter, omdat 1 liter = 1.000 cm³.
• Het gewicht van het ijs dat in het hoorntje zit = 650 gram/liter × 0,294052 liter ≈ 191,13 gram
• Het gewicht van het ijs dat in het hoorntje zit is 191 gram (rond af op gehelen).

Opgave 28.

Stap①. Bepaal eerst de inhoud van de onderste kegel (= de inhoud van de bovenste kegel).

• De hoogte van de onderste kegel = ½ × 25 = 12,5 cm.
• De inhoud van de onderste kegel = ⅓ × π × straal² × hoogte =  ⅓ × π × 5² × 12,5 ≈ 327,25 cm³.

Stap②. Bereken hoeveel gram zand er in de onderste kegel zit.

• De onderste kegel is geheel gevuld met zand dat 1,5 kg per dm³ weegt.
• De inhoud van de onderste kegel is 327,25 cm³.
• 327,25 cm³ is 0,32725 dm³, omdat 1 dm³ = 1.000 cm³
• Hoeveel gram zand er in de onderste kegel zit = 1,5 kg/dm³ × 0,32725 dm³ = 0,490875 kg = 490,875 gram.

Stap③. Bereken hoeveel gram zand er per seconde door de opening van de zandloper stroomt.

• Na het omdraaien van de zandloper duurt het 5 minuten tot het zand in de andere kegel is gelopen.
• Hoeveel gram zand er in de onderste kegel zit = 1,5 kg/dm³ × 0,32725 dm³ = 0,490875 kg
• 0,490875 kg = 490,875 gram
• 5 minuten = 300 seconden
• De doorstroomsnelheid = 490,875 gram ÷  300 seconden = 1,636 g/sec
• De doorstroomsnelheid is 1,64 gram per seconde (rond af op twee decimalen).

Opgave 29.

a.

→ De hoogte van een kegel is 3 keer de hoogte van een cilinder. De inhoud van de kegel is dezelfde als de inhoud van de cilinder.

→ Neem de straal van de kegel als r₁ en de straal van de cilinder als r₂. En neem de hoogte van de kegel als h.

• inhoud kegel = ⅓ × π × straal² × hoogte
• inhoud cilinder = π × straal² × hoogte
• Omdat de inhoud van de kegel dezelfde is als de inhoud van de cilinder en de hoogte van de kegel 3 keer de hoogte van de cilinder,  ⅓ × π × r₁² × 3h = π × r₂² × h

⅓ × π × r₁² × 3h = π × r₂² × h    ← ⅓  × 3 = 1

π × r₁² × h = π × r₂² × h            ← Deel beide zijden door π

r₁² × h = r₂² × h                        ← Deel beide zijden door h

r₁² = r₂²                                     ← Uiteindelijk blijven in de formule de straal van de kegel r₁ en de straal van de cilinder r₂ over. 

 →  r₁²  = r₂² , waarvan r₁ de straal van de kegel en r₂ de straal van de cilinder is. 
→ De straal van de kegel en de straal van de cilinder zijn gelijk.

b.

→ De straal van een kegel is 3 keer de diameter van een cilinder (= 6 keer de straal van een cilinder).

→ Neem de straal van de cilinder als r.

• De straal van een kegel = 6r

→ Neem de straal van de cilinder als r. En neem de hoogte van de kegel als h₁ en de hoogte van de cilinder als h₂.

•  inhoud kegel = ⅓ × π × straal² × hoogte
• inhoud cilinder = π × straal² × hoogte
• Omdat de inhoud van de kegel dezelfde is als de inhoud van de cilinder en de straal van de kegel 6r is,  ⅓ × π × (6r)² × h₁ = π × r² × h₂

⅓ × π × 36r² × h₁ = π × r² × h₂        ← ⅓  × 36 = 12

 π × 12r² × h₁ = π × r² × h₂              ← Deel beide zijden door π

12r² × h₁ =  r² × h₂                           ← Deel beide zijden door r²

12 × h₁ =  h₂                                     ← Uiteindelijk blijven in de formule de hoogte van de kegel h₁ en de hoogte van de cilinder h₂ over. 

→  12h₁ =  h₂ , waarvan h₁ is de hoogte van de kegel en h₂ de hoogte van de cilinder.
→  hoogte cilinder (h₂) is 12 keer hoogte kegel (h₁).

Inhoud piramide en kegel (H8.2) - deel 1 - G&R 12de - VWO 2

    ( Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H8 Inhoud en vergroten)

H8.2 Inhoud piramide en kegel - deel 1

(Opgave 15, 16, 19, 20, 21)

Opgave 15.

[Uitleg]

[Eerste figuur]

Stap①: Vind het grondvlak.

→ Vierkant ABCD is het grondvlak.

Stap②: Schets het grondvlak apart.

Stap③: Bereken de oppervlakte van het grondvlak.

→ Oppervlakte grondvlak (Vierkant ABCD) is   4 × 4 =16cm² .

Stap④: Bereken  de inhoud van de piramide.

→ Inhoud piramide = ⅓ × oppervlakte grondvlak × hoogte
 → De hoogte van de piramide is 4 cm.

→ Inhoud piramide = ⅓ × 16 cm² × 4 cm = 21⅓ cm³

[Tweede figuur]

Stap①: Vind het grondvlak.

→ Vierkant KLMN is het grondvlak.

Stap②: Schets het grondvlak apart.

Stap③: Bereken de oppervlakte van het grondvlak.

→ Oppervlakte grondvlak (Vierkant KLMN):

Oppervlakte vierkant ADHE – Oppervlakte vier driehoeken (◺ALK + ◺LDM + ◺MHN + ◺KNE)

= (4 × 4) – 4(½ × 2 × 2) = 16 – 8 = 8 cm²

of

KL = LM = MN = KN = √(2² + 2²) = 2√3

Oppervlakte □ KLMN = (2√3)² = 8 cm²

Stap④: Bereken  de inhoud van de piramide.

→ Inhoud piramide = ⅓ × oppervlakte grondvlak × hoogte
 → De hoogte van de piramide is 4 cm.

→ Inhoud piramide = ⅓ × 8 cm² × 4 cm = 10⅔ cm³

[Derde figuur]

Stap①: Vind het grondvlak.

→ Driehoek CDR is het grondvlak.

Stap②: Schets het grondvlak apart.

Stap③: Bereken de oppervlakte van het grondvlak.

→ Oppervlakte grondvlak (Driehoek CDR) is   ½ × 4 × 4 = 8 cm² .

Stap④: Bereken  de inhoud van de piramide.

→ Inhoud piramide = ⅓ × oppervlakte grondvlak × hoogte
 → De hoogte van de piramide is 4 cm.

→ Inhoud piramide = ⅓ × 8 cm² × 4 cm = 10⅔ cm³

Opgave 16.

[Eerste figuur]

Stap①: Vind het grondvlak.

→ Driehoek PCD is het grondvlak.

Stap②: Schets het grondvlak apart.

Stap③: Bereken de oppervlakte van het grondvlak.

→ Oppervlakte grondvlak (Driehoek PCD) is   ½ × (1½ + 1½) × 4 =  ½ × 3 × 4= 6 cm² .

Stap④: Bereken  de inhoud van de piramide.

→ Inhoud piramide = ⅓ × oppervlakte grondvlak × hoogte
 → De hoogte van de piramide is 5 cm.

→ Inhoud piramide = ⅓ × 6 cm² × 5 cm = 10 cm³

[Tweede figuur]

Stap①: Vind het grondvlak.

→ Trapezium RDHE is het grondvlak.

Stap②: Schets het grondvlak apart.

Stap③: Bereken de oppervlakte van het grondvlak.

→ Oppervlakte grondvlak (Trapezium RDHE) is   ½(5 + 2) × 4  = 14 cm² .

Stap④: Bereken  de inhoud van de piramide.

→ Inhoud piramide = ⅓ × oppervlakte grondvlak × hoogte
→ De hoogte van de piramide is 4 cm.

→ Inhoud piramide = ⅓ × 14 cm² × 3 cm = 14 cm³

Opgave 19.

[figuur De kerk]

→ De inhoud van de kerk: 

• Inhoud prisma 1 = (12 × 12) × 29 = 4176
• Inhoud prisma 2 = (12 × 18) × 20 = 4320
• Inhoud prisma 3 = (½ × 12 × 5) × 18 = 540
• Inhoud piramide 1 = ⅓ × (12 × 12) × 6 = 432

Inhoud prisma 1 + Inhoud prisma 2 + Inhoud prisma 3 + Inhoud piramide 1

= 4176 + 4320 + 540 + 288 = 9324 

→ De inhoud van de kerk is 9324 m³. 

Opgave 20.

a.

→ De stelling van Pythagoras is als volgens:

 In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de lengtes van de rechthoekzijden gelijk aan het kwadraat van de lengte van de schuine zijde. 

→ In het bovenstaande figuur is x een rechthoekzijde van een rechthoekige driehoek.
→ Volgens de stelling van Pythagoras, x² + x² = 4².

→ Als je deze vergelijking oplost:

 x² + x² = 4²

2x² = 16

x² = 8

x = ±√8  

→ x is een lengte.  x = √8

b.

→ Het oppervlakte van de achthoek is:

4 × (½ × √8 × √8) + 4 × (4 × √8) + 1× (4 × 4) = 16 +  4 × √(4²×8) + 16 

= 32 + 4 × √128 = 32 + √(4² × 128) = 32 + √2048 = 77,254834

→ De oppervlakte van de achthoek is 77,25 mm² (afgerond op twee decimalen).

c.

→ De inhoud van de diamant = de inhoud van de bovenste piramide + de inhoud van de onderste piramide.

① Inhoud van de bovenste piramide 

= ⅓ × oppervlakte grondvlak × hoogte 

= ⅓ × (32 + √2048) × 6 = 64 + √8192

② Inhoud van de onderste piramide

= ⅓ × oppervlakte grondvlak × hoogte

= ⅓ × (32 + √20488) × 8 = ²⁵⁶∕₃ + √((⁸∕₃)² × 2048) = ²⁵⁶∕₃ + √¹³¹⁰⁷²∕₉

 → De inhoud van de diamant = (64 + √8192) + (²⁵⁶∕₃ + √¹³¹⁰⁷²∕₉) ≈ 360,52

→ De inhoud van de diamant is 360,5 mm³ (rond af op één decimaal).

d.

→ Uit de opgave: "Eén karaat komt overeen met 200 milligram. Diamant weegt 3,51 mg per mm³."

→ De inhoud van de diamant is (64 + √8192) + (²⁵⁶∕₃ + √¹³¹⁰⁷²∕₉) mm³.

→ De inhoud van de diamant × 3,51 mg/mm³ = het gewicht van de diamant.

→ Het gewicht van de diamant ÷ 200mg = het karaat van de diamant.

(De inhoud van de diamant × 3,51 mg/mm³) ÷ 200mg

= {(64 + √8192) + (²⁵⁶∕₃ + √¹³¹⁰⁷²∕₉)} × 3,51 ÷ 200

≈ 6,33

→ De diamant is 6 karaat (rond af op gehelen). 

Opgave 21.

a.

→ 1 ha = 10.000 m²

→ 3,24 ha = 32.400 m²

→ Inhoud piramide = ⅓ × oppervlakte grondvlak × hoogte

                                 = ⅓ × 32.400 m² × 98 m

                                    = 1.058.400 m³

b.

Stap①: Bereken de zijde van het grondvlak (vierkant).

→ De piramide is een vierkante piramide. Een vierkante piramide is een piramide met een vierkant grondvlak, waarbij het zijvlak een gelijkbenige driehoek is.

→ De oppervlakte van het grondvlak is 32.400 m². 

    Oppervlakte vierkant = zijde² 

    zijde² = 32.400 m²

    zijde = 180 m

Stap②: Bereken de hoogte van de gelijkbenige driehoek van het zijvlak.

→ Gebruik de stelling van Pythagoras.

→ Volgens de stelling van de Pythagoras:

     x² = 98² × 90² = 17704

     x = √17704 m

     (x is de hoogte van de driehoek.)

→ De oppervlakte van de gelijkbenige driehoek = ½ × 180 ×√17704

→ Som van de oppervlakten van de zijvlakken = 4 × (½ × 180 ×√17704)

→ De roestvrijstalen platen dekken 95% van de buitenkant van de Pyramid Arena.

     Om de totale oppervlakte van de platen te berekenen:

     0,95 × {4 × (½ × 180 × √17704)} = 45.505 (Rond af op gehelen).

→ De totale oppervlakte van de roestvrijstalen platen is 45.505  m².

Inhoud prisma en cilinder (H8.1) - deel 2 - G&R 12de - VWO 2

   ( Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H8 Inhoud en vergroten)

H8.1 Inhoud prisma en cilinder - deel 2

(Opgave 11, 13)

Opgave 11.

a.

→ Inhoud cilinder = π × straal² × hoogte

→ De diameter van de cirkel is 7, 5 cm.

→ De straal van de cirkel is 7,5 ÷ 2 = 3,75 cm.

→ De inhoud van een soepblik = π × 3,75² × 15 ≈ 662,6797

→ De inhoud van een soepblik is 663 cm³ (rond af op gehelen).

b. 

Stap①: Bereken de inhoud van de doos.

→ "20 blikken passen in een doos."

→ In de figuur van de opgave zie je de blikken in twee lagen liggen. In elke laag zitten 10 blikken, in totaal 20 blikken in een doos. 

→ De oppervlakte van het grondvlak van de doos: 

              15 × 37,5 = 562,5 cm²

→ De inhoud van de doos = oppervlakte grondvlak van de rechthoek × hoogte 

         De inhoud van de doos = 562,5 × (15 × 2) = 16 875 cm³

Stap②: Bereken de inhoud van de 20 blikken.

→ De inhoud van één blik = π × 3,75² × 15.

→ De inhoud van de 20 blikken = 20(π × 3,75² × 15).

Stap③: Trek de inhoud van 20 blikken af van de inhoud van de doos

→ De niet gevulde ruimte van de doos = inhoud van de doos  – inhoud van 20 blikken

                                                                  = 16 875  – 20(π × 3,75² × 15)

                                                                  ≈ 3 621, 40

→ De niet gevulde ruimte van de doos is 3621 cm³ (rond af op gehelen).

Opgave 13.

Stap①: Bereken de inhoud van het hele aquarium.

→ De oppervlakte van het aquarium = π × (11 ÷ 2)² = 30,25π m²

     (Oppervlakte van cirkel = π × straal²)

→ De inhoud van het aquarium = 30,25π × 16 = 484π m³ 

     (Inhoud cilinder = π × straal² × hoogte)

Stap②: Bereken de inhoud van de cilindervormige lift.

→ De oppervlakte van de cilindervormige lift =  π × (3,5 ÷ 2)² = 3,0625π m²

     (Oppervlakte van cirkel = π × straal²)

→ De inhoud van de lift = 3,0625π × 16 = 49π m³

Stap③: Bereken de hoeveelheid water in het aquarium door de inhoud van de cilindervormige lift af te trekken van de inhoud van het hele aquarium. 

→ De hoeveelheid water in het aquarium = De inhoud van het aquarium – De inhoud van de lift = 484π m³  – 49π m³ = 435π m³

Stap④: Bereken de snelheid waarmee het aquarium werd gevuld (liter per minuut, rond af op gehelen).

→ "Het vullen van het aquarium duurde 3 volle dagen."

→ 3 dagen = 3 × 24 (uur) × 60 (minuten) = 4320 minuten

→ 435π m³ = 435000π liter (1 m³ = 1000 liter)

→ De snelheid waarmee het aquarium werd gevuld = 435000π liter ÷ 4320 minuten ≈ 316, 34 liter/minuut.

→ De snelheid waarmee het aquarium werd gevuld is 316 l/m (rond af op gehelen).