Oppervlakte bij vergroten (H8.4) - deel 1- G&R 12de - VWO 2

     ( Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H8 Inhoud en vergroten)

H8.4 Oppervlakte bij vergroten - deel 1

(41, 44 t/m 47)

Opgave 41.

→ Stap①. Bereken eerst de vergrotingsfactor k, om de oppervlakte van logo II te berekenen

• vergrotingsfactor k = afmeting beeld ÷ overeenkomstige afmeting origineel 
•  Logo I is origineel en logo II is beeld.
• k = 3,6 ÷ 4,4

→ Stap②. Gebruik de formule : oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel

• oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel 
• oppervlakte origineel (logo I) is 10,2 cm²
• oppervlakte logo II = (3,6 ÷ 4,4) × 10,2 cm² ≈ 6,828 cm²

→ De oppervlakte van logo II is 6,8 cm² (rond af op één decimaal).

Opgave 44.

[De toren van Hanoi]

→ De diameter van elke schijf: 2 cm, 2,2 cm, 2,4 cm 2,6 cm, 2,8 cm, 3 cm, 3,2 cm en 3,4 cm.

→ De straal van elke schijf: 1 cm, 1,1 cm, 1,2 cm 1,3 cm, 1,4 cm, 1,5 cm, 1,6 cm en 1,7 cm.

→ Omdat alle schijven even dik zijn, is de hoogte van elke schijf (= cilinder) hetzelfde als h.

→ Van de opgave weet je dat de kleinste schijf 15 gram weegt. Hieruit kun je berekenen hoeveel gram per cm³ de schijf weegt.

• het gewicht van de kleinste schijf = het gewicht per cm³ × de inhoud van de kleinste schijf 
• de inhoud van de kleinste schijf = inhoud cilinder = π × straal² × h = π × 1² × h = πh
• 15 gram = x g/cm³ × de inhoud van de kleinste schijf = x g/cm³ × πh cm³
• x   = 15 ÷  πh
• de schijf weegt 15 ÷  πh gram per cm³.

→ De som van het gewicht van de acht schijven

     = (het gewicht per cm³ × inhoud schijf 1) + (het gewicht per cm³ × inhoud schijf 2) + (het gewicht per cm³ × inhoud schijf 3) + (het gewicht per cm³ × inhoud schijf 4) + (het gewicht per cm³ × inhoud schijf 5) + (het gewicht per cm³ × inhoud schijf 6) + (het gewicht per cm³ × inhoud schijf 7) + (het gewicht per cm³ × inhoud schijf 8) 

 = het gewicht per cm³•(inhoud schijf 1 + inhoud schijf 2 + inhoud schijf 3 + inhoud schijf 4 + inhoud schijf 5 + inhoud schijf 6 + inhoud schijf 7 + inhoud schijf 8)

= het gewicht per cm³•(π × 1² × h + π × 1,1² × h + π × 1,2² × h + π × 1,3² × h+ π × 1,4² × h+ π × 1,5² × h + π × 1,6² × h+ π × 1,7² × h)

= het gewicht per cm³•πh•(1² + 1,1² + 1,2² + 1,3² + 1,4² + 1,5² + 1,6² + 1,7² )

= (15 ÷  πh)•πh•(1² + 1,1² + 1,2² + 1,3² + 1,4² + 1,5² + 1,6² + 1,7² )

= 15•(1² + 1,1² + 1,2² + 1,3² + 1,4² + 1,5² + 1,6² + 1,7² ) = 225

→ De som van het gewicht van de acht schijven is 225 gram.

Opgave 45.

→ Het punt A is het midden van een zijde van de grote zeshoek. Het blauwe gebied heeft een oppervlakte van 15cm².

→ Stap①. Bereken eerst de vergrotingsfactor k.

• vergrotingsfactor k = afmeting beeld ÷ overeenkomstige afmeting origineel 
• De kleine zeshoek is het origineel en de grote zeshoek is het beeld.
• Neem een zijde van de kleine zeshoek als x, dan is een zijde van de grote zeshoek 2x. 
• k = x ÷ 2x = 2

→ Stap②. Gebruik de formule : oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel

• oppervlakte van het blauwe gebied = oppervlakte van de grote zeshoek – oppervlakte van de kleine zeshoek
• oppervlakte van de grote zeshoek = k² × oppervlakte van de kleine zeshoek
• Het blauwe gebied heeft een oppervlakte van 15cm².
• 15 = (k² × oppervlakte van de kleine zeshoek) – oppervlakte van de kleine zeshoek
• Neem oppervlakte van de kleine zeshoek als x.

15 = 2²•x – x

15 = 4x – x

15 = 3x

x = 5

• De oppervlakte van de kleine zeshoek is 5 cm².

Opgave 46.

→ Stap①. Bereken eerst de vergrotingsfactor k.

• De echte Boeing 737 is het origineel en het model is het vbeeld.
• oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel
• De echte Boeing 737 heeft een vleugeloppervlakte van 160 m². De vleugeloppervlakte van het model is 1000 cm². 
• 1000 cm² = 0,1 m²
• 0,1 m² = k² × 160 m²

k = √(0,1 ÷ 160) = 0,025

→Stap②. Bereken de lengte en de spanwijdte van de echte Boeing 737

• de lengte van de echte Boeing 737 × k = de lengte van het model

de lengte van de echte Boeing 737 = 0,9 m ÷ 0,025 = 36 m

• de spanwijdte van de echte Boeing 737 × k = de spanwijdte van het model

de spanwijdte van de echte Boeing 737 = 0,85 m ÷ 0,025 = 34 m

Opgave 47.

→ De figuur bestaat uit een zwarte cirkel, een witte ring en een zwarte ring. Van beide ringen is de breedte gelijk aan de straal van de zwarte cirkel.

→ De oppervlakte van de zwarte cirkel = π•r² = πr²

→ De oppervlakte van de zwarte ring = π•(3r)² –  π•(2r)² = 9πr² – 4πr² = 5πr²

→ Om de oppervlakte van de zwarte ring te krijgen moet je 5 vermenigvuldigen met de oppervlakte van de zwarte cirkel.