( Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H8 Inhoud en vergroten)
H8.2 Inhoud piramide en kegel - deel 2
(22, 26 t/m 29)
Opgave 22.
→ De piramide van de opgave is als volgt: het grondvlak is een rechthoek van 24 bij 8 cm en de opstaande ribben zijn elk 13 cm.
→ Om de inhoud van de piramide te berekenen moet je de hoogte van de piramide weten.
→ De hoogte van de piramide kun je vinden met behulp van de stelling van Pythagoras.
Stap 1. Bepaal eerst de hoogte van de driehoek van een zijvlak.
- De zijvlakken van de piramide bestaan uit twee vormen van gelijkbenige driehoek: een gelijkbenige driehoek van 24 bij 13 cm en een gelijkbenige driehoek van 8 bij 13 cm.
- Omdat het een gelijkbenige driehoek is, heeft deze één symmetrieas. De hoek waar de symmetrieas doorheen gaat is de tophoek.
- Met behulp van de stelling van Pythagoras kun je de hoogte van de gelijkbenige driehoek (zijvlak van de piramide) berekenen.
- De hoogte van de gelijkbenige driehoek van 24 bij 13 cm = √(13² – 12²) = 5 cm. (Je kan ook de hoogte van de gelijkbenige driehoek van 8 bij 13 cm gebruiken om de hoogte van de piramide te vinden.)
Neem de hoogte van de piramide als x cm. Met gebruik van de stelling van Pythagoras:
5² = 4² + x²x = √(5² – 4²) = √9 = 3
De hoogte van de piramide is 3 cm.
→ Je kunt nu de inhoud van de piramide berekenen.
- Inhoud piramide = ⅓ × oppervlak grondvlak × hoogte
- Oppervlak grondvlak van de piramide = 24 × 8 = 192
- Inhoud van de piramide = ⅓ × (24 × 8) × 3 = 192
- De inhoud van de piramide is 192 cm³.
Opgave 26.
a.
→ inhoud kegel = ⅓ × π × straal² × hoogte
→ De inhoud van het potlood = de inhoud van de cilinder met hoogte 10 cm en diameter 1,5 cm + de inhoud van de kegel met hoogte 2 cm en diameter 1,5 cm
- De inhoud van de cilinder met hoogte 10 cm en straal 0,75 cm ( = diameter 1,5 cm) = π × straal² × hoogte = π × 0,75² × 10 = 5,625π cm³
- De inhoud van de kegel met hoogte 2 cm en straal 0,75 cm (= diameter 1,5 cm) = ⅓ × π × straal² × hoogte = ⅓ × π × 0,75² × 2 = 0,375π cm³
- De inhoud van het potlood = 5,625π cm³ + 0,375π cm³ = 6π cm³ ≈ 18,8495 cm³
- De inhoud van het potlood is 18,85 cm³ (rond af op twee decimalen).
b.
→ Om het gewicht van het potlood in deze opgave te berekenen moet je ① het gewicht van het hout van het potlood en ② het gewicht van de stift optellen.
Stap①. Bepaal het gewicht van het hout van het potlood.
- De inhoud van het potlood is de som van de inhoud van het hout en de inhoud van de stift. Van de opgave weet je dat de inhoud van de stift van het potlood 2,3 cm³ is.
- De inhoud van het hout van het potlood = 6π cm³ – 2,3 cm³
- Het potlood is gemaakt van hout dat 0,9 gram per cm³ weegt.
- Het gewicht van het hout van het potlood = de inhoud van het hout van het potlood × 0,9 gram/cm³ = (6π cm³ – 2,3 cm³) × 0,9 gram/cm³ ≈ 14,895 gram
Stap②. Bepaal het gewicht van de stift van het potlood.
- De stift weegt 1,2 gram per cm³.
- De inhoud van de stift van het potlood is 2,3 cm³.
- Het gewicht van de stift van het potlood = 2,3 cm³ × 1,2 gram/cm³ = 2,76 gram
- Het gewicht van het hout + het gewicht van de stift = 14,895 gram + 2,76 gram ≈ 17,655 gram
- Het potlood weegt 17,7 gram (rond af op één decimaal).
Opgave 27.
→ Het hoorntje is tot de rand gevuld met ijs. Dit betekent dat het hoorntje een kegel is.
→ Om het gewicht van het ijs te berekenen moet je eerst de inhoud van het hoorntje (= een kegel) weten, omdat in de opgave het gewicht van het ijs per liter (1 liter = 1.000 cm³) gegeven is.
→ inhoud kegel = ⅓ × π × straal² × hoogte
Stap①. Bepaal eerst de hoogte van het hoorntje.
- In de opgave zie je geen hoogte van het hoorntje. Je moet deze zelf berekenen met behulp van de stelling van Pythagoras.
- In de bovenstaande figuur is x cm de hoogte van het hoorntje. De doorsnede van de top van de kegel tot het grondvlak wordt een gelijkbenige driehoek. Omdat het een gelijkbenige driehoek is, heeft deze één symmetrieas.
- Volgens de stelling van Pythagoras,
18² = x² + 4²
x = √ (18² – 4²) = √308
- De hoogte van het hoorntje is √308 cm.
Stap②. Bereken de inhoud van het hoorntje.
- inhoud kegel = ⅓ × π × straal² × hoogte
- De inhoud van het hoorntje = ⅓× π × 4² × √308 ≈ 294,052 cm³
Stap③. Bereken het gewicht van het ijs dat in het hoorntje zit.
- Het ijs weegt 650 gram per liter volgens de opgave.
- De inhoud van het hoorntje is 294,052 cm³.
- 294,052 cm³ is 0,294052 liter, omdat 1 liter = 1.000 cm³.
- Het gewicht van het ijs dat in het hoorntje zit = 650 gram/liter × 0,294052 liter ≈ 191,13 gram
- Het gewicht van het ijs dat in het hoorntje zit is 191 gram (rond af op gehelen).
Stap①. Bepaal eerst de inhoud van de onderste kegel (= de inhoud van de bovenste kegel).
- De hoogte van de onderste kegel = ½ × 25 = 12,5 cm.
- De inhoud van de onderste kegel = ⅓ × π × straal² × hoogte = ⅓ × π × 5² × 12,5 ≈ 327,25 cm³.
- De onderste kegel is geheel gevuld met zand dat 1,5 kg per dm³ weegt.
- De inhoud van de onderste kegel is 327,25 cm³.
- 327,25 cm³ is 0,32725 dm³, omdat 1 dm³ = 1.000 cm³
- Hoeveel gram zand er in de onderste kegel zit = 1,5 kg/dm³ × 0,32725 dm³ = 0,490875 kg = 490,875 gram.
Stap③. Bereken hoeveel gram zand er per seconde door de opening van de zandloper stroomt.
- Na het omdraaien van de zandloper duurt het 5 minuten tot het zand in de andere kegel is gelopen.
- Hoeveel gram zand er in de onderste kegel zit = 1,5 kg/dm³ × 0,32725 dm³ = 0,490875 kg
- 0,490875 kg = 490,875 gram
- 5 minuten = 300 seconden
- De doorstroomsnelheid = 490,875 gram ÷ 300 seconden = 1,636 g/sec
- De doorstroomsnelheid is 1,64 gram per seconde (rond af op twee decimalen).
a.
→ De hoogte van een kegel is 3 keer de hoogte van een cilinder. De inhoud van de kegel is dezelfde als de inhoud van de cilinder.
→ Neem de straal van de kegel als r₁ en de straal van de cilinder als r₂. En neem de hoogte van de kegel als h.
- inhoud kegel = ⅓ × π × straal² × hoogte
- inhoud cilinder = π × straal² × hoogte
- Omdat de inhoud van de kegel dezelfde is als de inhoud van de cilinder en de hoogte van de kegel 3 keer de hoogte van de cilinder, ⅓ × π × r₁² × 3h = π × r₂² × h
⅓ × π × r₁² × 3h = π × r₂² × h ← ⅓ × 3 = 1π × r₁² × h = π × r₂² × h ← Deel beide zijden door πr₁² × h = r₂² × h ← Deel beide zijden door hr₁² = r₂² ← Uiteindelijk blijven in de formule de straal van de kegel r₁ en de straal van de cilinder r₂ over.
→ r₁² = r₂² , waarvan r₁ de straal van de kegel en r₂ de straal van de cilinder is.
→ De straal van de kegel en de straal van de cilinder zijn gelijk.
→ De straal van de kegel en de straal van de cilinder zijn gelijk.
b.
→ De straal van een kegel is 3 keer de diameter van een cilinder (= 6 keer de straal van een cilinder).
→ Neem de straal van de cilinder als r.
- De straal van een kegel = 6r
→ Neem de straal van de cilinder als r. En neem de hoogte van de kegel als h₁ en de hoogte van de cilinder als h₂.
- inhoud kegel = ⅓ × π × straal² × hoogte
- inhoud cilinder = π × straal² × hoogte
- Omdat de inhoud van de kegel dezelfde is als de inhoud van de cilinder en de straal van de kegel 6r is, ⅓ × π × (6r)² × h₁ = π × r² × h₂
⅓ × π × 36r² × h₁ = π × r² × h₂ ← ⅓ × 36 = 12π × 12r² × h₁ = π × r² × h₂ ← Deel beide zijden door π12r² × h₁ = r² × h₂ ← Deel beide zijden door r²12 × h₁ = h₂ ← Uiteindelijk blijven in de formule de hoogte van de kegel h₁ en de hoogte van de cilinder h₂ over.
→ 12h₁ = h₂ , waarvan h₁ is de hoogte van de kegel en h₂ de hoogte van de cilinder.
→ hoogte cilinder (h₂) is 12 keer hoogte kegel (h₁).
→ hoogte cilinder (h₂) is 12 keer hoogte kegel (h₁).
