Inhoud prisma en cilinder (H8.1) - deel 2 - G&R 12de - VWO 2

   ( Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H8 Inhoud en vergroten)

H8.1 Inhoud prisma en cilinder - deel 2

(Opgave 11, 13)

Opgave 11.

a.

→ Inhoud cilinder = π × straal² × hoogte

→ De diameter van de cirkel is 7, 5 cm.

→ De straal van de cirkel is 7,5 ÷ 2 = 3,75 cm.

→ De inhoud van een soepblik = π × 3,75² × 15 ≈ 662,6797

→ De inhoud van een soepblik is 663 cm³ (rond af op gehelen).

b. 

Stap①: Bereken de inhoud van de doos.

→ "20 blikken passen in een doos."

→ In de figuur van de opgave zie je de blikken in twee lagen liggen. In elke laag zitten 10 blikken, in totaal 20 blikken in een doos. 

→ De oppervlakte van het grondvlak van de doos: 

              15 × 37,5 = 562,5 cm²

→ De inhoud van de doos = oppervlakte grondvlak van de rechthoek × hoogte 

         De inhoud van de doos = 562,5 × (15 × 2) = 16 875 cm³

Stap②: Bereken de inhoud van de 20 blikken.

→ De inhoud van één blik = π × 3,75² × 15.

→ De inhoud van de 20 blikken = 20(π × 3,75² × 15).

Stap③: Trek de inhoud van 20 blikken af van de inhoud van de doos

→ De niet gevulde ruimte van de doos = inhoud van de doos  – inhoud van 20 blikken

                                                                  = 16 875  – 20(π × 3,75² × 15)

                                                                  ≈ 3 621, 40

→ De niet gevulde ruimte van de doos is 3621 cm³ (rond af op gehelen).

Opgave 13.

Stap①: Bereken de inhoud van het hele aquarium.

→ De oppervlakte van het aquarium = π × (11 ÷ 2)² = 30,25π m²

     (Oppervlakte van cirkel = π × straal²)

→ De inhoud van het aquarium = 30,25π × 16 = 484π m³ 

     (Inhoud cilinder = π × straal² × hoogte)

Stap②: Bereken de inhoud van de cilindervormige lift.

→ De oppervlakte van de cilindervormige lift =  π × (3,5 ÷ 2)² = 3,0625π m²

     (Oppervlakte van cirkel = π × straal²)

→ De inhoud van de lift = 3,0625π × 16 = 49π m³

Stap③: Bereken de hoeveelheid water in het aquarium door de inhoud van de cilindervormige lift af te trekken van de inhoud van het hele aquarium. 

→ De hoeveelheid water in het aquarium = De inhoud van het aquarium – De inhoud van de lift = 484π m³  – 49π m³ = 435π m³

Stap④: Bereken de snelheid waarmee het aquarium werd gevuld (liter per minuut, rond af op gehelen).

→ "Het vullen van het aquarium duurde 3 volle dagen."

→ 3 dagen = 3 × 24 (uur) × 60 (minuten) = 4320 minuten

→ 435π m³ = 435000π liter (1 m³ = 1000 liter)

→ De snelheid waarmee het aquarium werd gevuld = 435000π liter ÷ 4320 minuten ≈ 316, 34 liter/minuut.

→ De snelheid waarmee het aquarium werd gevuld is 316 l/m (rond af op gehelen).

Inhoud prisma en cilinder (H8.1) - deel 1 - G&R 12de - VWO 2

  ( Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H8 Inhoud en vergroten)

H8.1 Inhoud prisma en cilinder - deel 1

(Opgave 3, 5, 7, 8)

Opgave 3.

[Eerste figuur]

Stap①: Vind het grondvlak.

→ Trapezium LMNB is het grondvlak (=bovenvlak).

Stap②: Schets het grondvlak apart.

Stap③: Bereken de oppervlakte van het grondvlak.

→  Oppervlakte □ ABFE  – (Oppervlakte ◺ABL + Oppervlakte ◺MFN + Oppervlakte ◺ELM) = Oppervlakte grondvlak (Trapezium LMNB)   

→  Oppervlakte □ ABFE = 4 × 4 = 16

→ Oppervlakte ◺ABL = ½ × 4 × 2 = 4

→ Oppervlakte ◺MFN = ½ × 2 × 1 = 1

→ Oppervlakte ◺ELM =  ½ × 2 × 2 = 2

→  Oppervlakte □ ABFE  – (Oppervlakte ◺ABL + Oppervlakte ◺MFN + Oppervlakte ◺ELM)

      = 16 – (4 + 1 + 2) = 16 – 7 =  9

→ Oppervlakte grondvlak (Trapezium LMNB) is 9 cm² .

Stap④: Bereken  de inhoud van het prisma.

→ Inhoud prisma = oppervlakte grondvlak × hoogte

→ De hoogte van het prisma is 3 cm.

→ Inhoud prisma = 9 cm² × 3 cm = 27 cm³

[Tweede figuur]

Stap①: Vind het grondvlak.

→ Vijfhoek FLNQG is het grondvlak (= bovenvlak).

Stap②: Schets het grondvlak apart.

Stap③: Bereken de oppervlakte van het grondvlak.

→  Oppervlakte □ FBCG  – (Oppervlakte ◺BNL + Oppervlakte ◺NCQ) = Oppervlakte grondvlak (Vijfhoek FLNQG) 

→ Oppervlakte □ FBCG = (1½ + 2½) × (2 + 4) = 4 × 6 = 24

→ Oppervlakte ◺BNL = ½ × 1 × 2 = 1

→ Oppervlakte ◺NCQ = ½ × 4 × 2½ = ½ × 4 × ⁵∕₂ = 5 

→ Oppervlakte □ FBCG  – (Oppervlakte ◺BNL + Oppervlakte ◺NCQ)

      = 24 – (1 + 5) = 24 – 6 = 18 

→ Oppervlakte grondvlak (Vijfhoek FLNQG) is 18 cm².

Stap④: Bereken de inhoud van het prisma.

→ Inhoud prisma = oppervlakte grondvlak × hoogte

→ De hoogte van het prisma is 3 cm.

→ Inhoud prisma = 18 cm² × 3 cm = 54 cm³

Opgave 5.

a.

→ Oppervlakte grondvlak = ½∙(45 cm + 25 cm)× 20 cm = 700 cm²

→ De hoogte van het prisma is 500 m.

→ Inhoud prisma = oppervlakte grondvlak × hoogte

→ Inhoud prisma = 700 cm² × 50.000 cm = 35.000.000 cm³ = 35000 liter

  ( 1000 cm³ = 1 liter)

b.

→ De formule voor de opgave: 

De hoogte van het prisma wanneer er 25.000 liter water in zit = Inhoud prisma ÷ Oppervlakte grondvlak 

→ Inhoud prisma: 25.000 liter = 25 000 000 cm³ 

     Oppervlakte grondvlak: 700 cm²

    25 000 000 cm³ ÷ 700 cm² ≈ 35 714 cm

→ "Het water stroomt met een snelheid van 2 meter per seconde naar binnen."

→ 35714 cm ≈ 357,14 m

→ 357,14 m ÷ 2 m = 178,57 

 → 178,57 seconden ≈ 3 minuten

Opgave 7.

a.

Stap①:  De hoogte van het grondvlak (een trapezium) is nodig om de oppervlakte van het grondvlak te berekenen. → Oppervlakte trapezium = ½ × som evenwijdige zijden × hoogte 

→ Gebruik de stelling van Pythagoras.

→ Volgens de stelling van Pythagoras (In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de lengtes van de rechthoekzijden gelijk aan het kwadraat van de lengte van de schuine zijde):

1,2² + x² = 2,0²

 x² = 2,0² – 1,2²

x = √ 2,0² – 1,2² = 1,6 m (x is een lengte, dus x is een positief getal.) 

Stap②: Bereken de oppervlakte van het grondvlak.

→ Oppervlakte trapezium = ½ × som evenwijdige zijden × hoogte

→ Oppervlakte grondvlak = ½(3,1 + 1,9) × 1,6 = 4 m²

Stap③: Bereken de hoogte van het water wanneer er 4600 liter water in de jacuzzi zit.

→ 4600 liter = 4,6 m³

→ De formule:  Oppervlakte prisma = oppervlakte grondvlak × hoogte 

                              4,6 m³ = 4 m² × hoogte bij 4600 liter water

                              hoogte bij 4600 liter water = 4,6 m³ ÷ 4 m² = 1,15 m

Stap④: Trek de waterhoogte bij 4600 liter water af van de hoogte van de jacuzzi.

→ De hoogte van de jacuzzi is 1,2 m volgens de figuur.

→ De formule: 1,2 m – 1,15 m = 0,05 m = 5 cm

→ De afstand van de rand wanneer er 4600 liter water in de jacuzzi zit is 5 cm.

b.

→ Betegelde oppervlakte =  oppervlakte grondvlak + oppervlakte vier zijvlakken

→ Oppervlakte vier zijvlakken = (1,6 × 1,2) + (3,1 × 1,2) + (1,9 × 1,2) + (2 × 1,2)

                                                   = 1,92 + 3,72 + 2,28 + 2,4

                                                   = 10,32 m² 

→ Oppervlakte grondvlak = ½(3,1 + 1,9)×1,6 = 4 m²

→ Betegelde oppervlakte =  10,32 m² + 4 m² = 14,32 m²

Opgave 8.

→ Elk prisma heeft twee evenwijdige zijvlakken: het grondvlak en het bovenvlak. De andere zijvlakken zijn rechthoeken. 

→ Het grondvlak van het prisma is een trapezium.

→ De lengte van de andere evenwijdige zijde van het trapezium is nodig.

→ De lengte van de andere evenwijdige zijde van het trapezium is 20 – x in de bovenstaande figuur.

→ Gebruik de stelling van Pythagoras om x te vinden.

     x² = 13² – 12²

     x = √13² – 12² = 5 (x is een lengte, dus x is een positief getal.) 

→ De lengte van de andere evenwijdige zijde van het trapezium is 20 – x = 20 – 5 = 15

→ Oppervlakte grondvlak van het prisma = ½(20 +15) × 12 = 210

→ Inhoud van het prisma = 210 × 20 = 4200 mm³

              (Inhoud van prisma = oppervlakte grondvlak × hoogte)