Oppervlakte bij vergroten (H8.4) - deel 2- G&R 12de - VWO 2

      ( Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H8 Inhoud en vergroten)

H8.4 Oppervlakte bij vergroten - deel 2

(50 t/m 54)

Opgave 50.

→ De oppervlakte van de grootste vijver (= cirkel) = 2 × de oppervlakte van de kleinste vijver

→ oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel

• oppervlakte cirkel = π•straal²
• Neem de straal van de kleinste vijver als r₁ en de grootste als r₂:

πr₂² = 5(πr₁²) = k² × πr₁²

k² = 5πr₁² ÷ πr₁² =5

k  = √5

• De diameter van de kleinste vijver is 2,4 meter → de straal is dan 1,2 m.

πr₂² = k² × πr₁² = 5 × π(1,2)²  = 7,2π

πr₂² = 7,2π

r₂² = 7,2

r₂ = √7,2 

→ De diameter van de grote vijver = 2 × straal = 2 ×√7,2 ≈ 5, 3665
→ De diameter van de grote vijver is 5, 37 meter (rond af op twee decimalen).

 

※ Een andere manier om de diameter van de grote vijver te berekenen zonder vergrotingsfactor k te berekenen: 

• Je kunt een formule instellen vanuit het gegeven "de oppervlakte van de grootste is vijf keer zo groot als de oppervlakte van de kleinste".

πr₂² = 5(πr₁²) = 5(π × 1,2²) = 7,2π

πr₂² = 7,2π

r₂² = 7,2

r₂ = √7,2

Opgave 51.

• De oppervlakte van lijst A is 150 cm².
• De oppervlakte van lijst C is 1350 cm².
• De afmetingen van lijst B is 20 bij 30 cm.

a.

Stap①. Bereken eerst de vergrotingsfactor k.

→ oppervlakte lijst B = 20 × 30 = 600 cm²

→ oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel

→ Lijst B is origineel en lijst C is beeld. (Lijst C is een vergroting van lijst B.)

• oppervlakte lijst C = k² × oppervlakte B

1350 = k² × 600

k = √(1350 ÷ 600) = 1,5

→ Vergrotingsfactor k is 1,5.

Stap②. Bereken de afmetingen van lijst C.

→ De breedte van lijst C = vergrotingsfactor k × de breedte van lijst B

                                        = 1,5 × 20 = 30 cm

→ De lengte van lijst C = vergrotingsfactor k × de lengte van lijst B

                                      =  1,5 × 30 = 45 cm

→ De afmetingen van lijst C zijn 30 bij 45 cm.

b.

Stap①. Bereken eerst de vergrotingsfactor k.

→ oppervlakte lijst B = 20 × 30 = 600 cm²

→ oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel

→ Lijst B is origineel en lijst A is beeld. (Lijst A is een verkleining van lijst B.)

• oppervlakte lijst A = k² × oppervlakte B

150 = k² × 600

k = √(150 ÷ 600) = 0,5

→ Vergrotingsfactor k is 0,5.

Stap②. Bereken de afmetingen van lijst A.

→ De breedte van lijst A = vergrotingsfactor k × de breedte van lijst B

                                        = 0,5 × 20 = 10 cm

→ De lengte van lijst A = vergrotingsfactor k × de lengte van lijst B

                                      =  0,5 × 30 = 15 cm

→ De afmetingen van lijst C zijn 10 bij 15 cm.

Opgave 52.

Stap①. Bereken eerst de vergrotingsfactor k.

→ De zeiloppervlakte van de kleine zeilboot is 2,8 m².

→ De zeiloppervlakte van het origineel = ½ × 2 × 4,8 = 4,8 m²

→ oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel

2,8 = k² × 4,8

k = √(2,8 ÷ 4,8) 

Stap②. Bereken de afmetingen van het grootzeil van de kleine zeilboot.

→ De zeilbreedte van de kleine zeilboot = vergrotingsfactor k × de breedte van het origineel

                                        = √(2,8 ÷ 4,8) × 2 ≈ 1,53  m

→ De zeillengte van de kleine zeilboot = vergrotingsfactor k × de lengte van het origineel

                                      =  √(2,8 ÷ 4,8) × 4,8 ≈ 3,67 m

→ De afmetingen van het grootzeil van de kleine zeilboot is 1,53 bij 3,67 m (rond af op twee decimalen). 

Opgave 53.

a.

Stap①. Bereken eerst de vergrotingsfactor k.

→ oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel

0,338 m² = k² × 845 m²

k = √(0,338 ÷ 845) = 0,02

Stap②. Bereken de lengte van het schaalmodel.
→ De lengte van het schaalmodel = vergrotingsfactor k × de lengte van het origineel
                                                       = 0,02 × 72,7

                                                       = 1.454 m

b.

Stap①. Bereken eerst de vergrotingsfactor k.

→ De spanwijdte van een model is hoogstens 60% van de breedte van de windtunnel.

60% × 5 m = 0,6 × 5 m = 3 m

→ De maximale spanwijdte van een model is 3 m.

→ Vergrotingsfactor k = afmeting beeld ÷ overeenkomstige afmeting origineel

                                    = 3 m ÷ 79,8 m = 3 ÷ 79,8

Stap②. Berekenen de maximale vleugeloppervlakte van een schaalmodel.

→ oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel

                                   = (3 ÷ 79,8)² × 845 m²

                                   ≈ 1,194 m²

→ De maximale vleugeloppervlakte van een schaalmodel is 1,19 m² (rond af op twee decimalen).

Opgave 54.

Stap①. Bereken eerst de oppervlakte van verkeersbord I.

→ Verkeersbord I heeft een omtrek 270 cm en heeft de vorm van een gelijkzijdige driehoek.

• Volgens de stelling van Pythagoras:

90² = (hoogte van bord I)² + 45² 

hoogte van bord I = √(90² – 45²) = √6075 cm

→ oppervlakte van bord I = ½ × 90 × √6075

Stap②. Bereken de vergrotingsfactor k.

→ Verkeersbord II heeft een oppervlakte van 25 dm² en heeft ook de vorm van een gelijkzijdige driehoek.

→ 25 dm² = 2500 cm²

→ oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel

→ Neem: Bord I is origineel en bord II is beeld.

     2500 cm² = k² ×  (½ × 90 × √6075) cm²

     k = √(2500 ÷ (½ × 90 × √6075))

         ≈ 0,84426

Stap③. Bereken een zijde van bord II. De omtrek van bord II = 3 × een zijde. 

→ Verkeersbord II  heeft de vorm van een gelijkzijdige driehoek.

 → Een zijde van bord II = vergrotingsfactor k × een zijde van bord I

                                        = √(2500 ÷ (½ × 90 × √6075)) × 90 cm

→ De omtrek van bord II is 3 × een zijde = 3 × (2500 ÷ (½ × 90 × √6075)) × 90 cm ≈ 227,950 cm.

→ De omtrek van bord II is 228 cm (rond af op gehelen).

Oppervlakte bij vergroten (H8.4) - deel 1- G&R 12de - VWO 2

     ( Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H8 Inhoud en vergroten)

H8.4 Oppervlakte bij vergroten - deel 1

(41, 44 t/m 47)

Opgave 41.

→ Stap①. Bereken eerst de vergrotingsfactor k, om de oppervlakte van logo II te berekenen

• vergrotingsfactor k = afmeting beeld ÷ overeenkomstige afmeting origineel 
•  Logo I is origineel en logo II is beeld.
• k = 3,6 ÷ 4,4

→ Stap②. Gebruik de formule : oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel

• oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel 
• oppervlakte origineel (logo I) is 10,2 cm²
• oppervlakte logo II = (3,6 ÷ 4,4) × 10,2 cm² ≈ 6,828 cm²

→ De oppervlakte van logo II is 6,8 cm² (rond af op één decimaal).

Opgave 44.

[De toren van Hanoi]

→ De diameter van elke schijf: 2 cm, 2,2 cm, 2,4 cm 2,6 cm, 2,8 cm, 3 cm, 3,2 cm en 3,4 cm.

→ De straal van elke schijf: 1 cm, 1,1 cm, 1,2 cm 1,3 cm, 1,4 cm, 1,5 cm, 1,6 cm en 1,7 cm.

→ Omdat alle schijven even dik zijn, is de hoogte van elke schijf (= cilinder) hetzelfde als h.

→ Van de opgave weet je dat de kleinste schijf 15 gram weegt. Hieruit kun je berekenen hoeveel gram per cm³ de schijf weegt.

• het gewicht van de kleinste schijf = het gewicht per cm³ × de inhoud van de kleinste schijf 
• de inhoud van de kleinste schijf = inhoud cilinder = π × straal² × h = π × 1² × h = πh
• 15 gram = x g/cm³ × de inhoud van de kleinste schijf = x g/cm³ × πh cm³
• x   = 15 ÷  πh
• de schijf weegt 15 ÷  πh gram per cm³.

→ De som van het gewicht van de acht schijven

     = (het gewicht per cm³ × inhoud schijf 1) + (het gewicht per cm³ × inhoud schijf 2) + (het gewicht per cm³ × inhoud schijf 3) + (het gewicht per cm³ × inhoud schijf 4) + (het gewicht per cm³ × inhoud schijf 5) + (het gewicht per cm³ × inhoud schijf 6) + (het gewicht per cm³ × inhoud schijf 7) + (het gewicht per cm³ × inhoud schijf 8) 

 = het gewicht per cm³•(inhoud schijf 1 + inhoud schijf 2 + inhoud schijf 3 + inhoud schijf 4 + inhoud schijf 5 + inhoud schijf 6 + inhoud schijf 7 + inhoud schijf 8)

= het gewicht per cm³•(π × 1² × h + π × 1,1² × h + π × 1,2² × h + π × 1,3² × h+ π × 1,4² × h+ π × 1,5² × h + π × 1,6² × h+ π × 1,7² × h)

= het gewicht per cm³•πh•(1² + 1,1² + 1,2² + 1,3² + 1,4² + 1,5² + 1,6² + 1,7² )

= (15 ÷  πh)•πh•(1² + 1,1² + 1,2² + 1,3² + 1,4² + 1,5² + 1,6² + 1,7² )

= 15•(1² + 1,1² + 1,2² + 1,3² + 1,4² + 1,5² + 1,6² + 1,7² ) = 225

→ De som van het gewicht van de acht schijven is 225 gram.

Opgave 45.

→ Het punt A is het midden van een zijde van de grote zeshoek. Het blauwe gebied heeft een oppervlakte van 15cm².

→ Stap①. Bereken eerst de vergrotingsfactor k.

• vergrotingsfactor k = afmeting beeld ÷ overeenkomstige afmeting origineel 
• De kleine zeshoek is het origineel en de grote zeshoek is het beeld.
• Neem een zijde van de kleine zeshoek als x, dan is een zijde van de grote zeshoek 2x. 
• k = x ÷ 2x = 2

→ Stap②. Gebruik de formule : oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel

• oppervlakte van het blauwe gebied = oppervlakte van de grote zeshoek – oppervlakte van de kleine zeshoek
• oppervlakte van de grote zeshoek = k² × oppervlakte van de kleine zeshoek
• Het blauwe gebied heeft een oppervlakte van 15cm².
• 15 = (k² × oppervlakte van de kleine zeshoek) – oppervlakte van de kleine zeshoek
• Neem oppervlakte van de kleine zeshoek als x.

15 = 2²•x – x

15 = 4x – x

15 = 3x

x = 5

• De oppervlakte van de kleine zeshoek is 5 cm².

Opgave 46.

→ Stap①. Bereken eerst de vergrotingsfactor k.

• De echte Boeing 737 is het origineel en het model is het vbeeld.
• oppervlakte beeld = k² × oppervlakte origineel
• De echte Boeing 737 heeft een vleugeloppervlakte van 160 m². De vleugeloppervlakte van het model is 1000 cm². 
• 1000 cm² = 0,1 m²
• 0,1 m² = k² × 160 m²

k = √(0,1 ÷ 160) = 0,025

→Stap②. Bereken de lengte en de spanwijdte van de echte Boeing 737

• de lengte van de echte Boeing 737 × k = de lengte van het model

de lengte van de echte Boeing 737 = 0,9 m ÷ 0,025 = 36 m

• de spanwijdte van de echte Boeing 737 × k = de spanwijdte van het model

de spanwijdte van de echte Boeing 737 = 0,85 m ÷ 0,025 = 34 m

Opgave 47.

→ De figuur bestaat uit een zwarte cirkel, een witte ring en een zwarte ring. Van beide ringen is de breedte gelijk aan de straal van de zwarte cirkel.

→ De oppervlakte van de zwarte cirkel = π•r² = πr²

→ De oppervlakte van de zwarte ring = π•(3r)² –  π•(2r)² = 9πr² – 4πr² = 5πr²

→ Om de oppervlakte van de zwarte ring te krijgen moet je 5 vermenigvuldigen met de oppervlakte van de zwarte cirkel.