Diagnostische toets - H7 Kwadratische vergelijkingen - G&R 12de - VWO 2

   ( Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H7 Kwadratische vergelijkingen)

Diagnostische toets 

(Opgave 2, 5, 7, 11, 13, 15)

Opgave 2.

 

→ "De horizontale lijn op hoogte – 3" is y = –3

→"De grafiek van y = – 2x² + 5 snijdt y = –3

→ – 2x² + 5 = –3

– 2x² + 5 = –3

           +3 = +3     

 –2x² + 8 = 0            ← Maak het rechterlid nul.

–2x² –2∙(–4) = 0

–2(x² – 4) = 0          ←  Breng gemeenschappelijke factor –2 buiten haakjes.

 –2(x² –  2²) = 0        ← De regel a² – b² = (a – b)(a + b)

–2(x – 2)(x + 2) = 0

 x – 2 = 0 of x + 2 = 0  → x = 2 ∨ x = –2

De y-coördinaat van punt A en B is –3, want y = –3. 

A(–2, –3) B(2, –3)

Opgave 5. Ontbind in zoveel mogelijk factoren.

a. 36x² – 24xy = 12∙3∙x∙x –12∙2∙x∙y 

= 12x(3x –2y)                     ← Gemeenschappelijke factor 12x

b. 12x⁶ – 4x² = 4∙x²∙x⁴ – 4∙x²       ← Gemeenschappelijke factor 4x²

= 4x²(x⁴ – 1) = 4x²((x²) ²– 1²)   

= 4x²(x² – 1²)(x² +1)               ← De regel a² – b² = (a – b)(a + b)

= 4x²(x – 1)(x + 1)(x² +1)      ← De regel a² – b² = (a – b)(a + b)

c. 5x²y + xy – 2xy² = 5∙x∙x∙y + x∙y  – 2∙x∙y∙y

= xy(5x  + 1 – 2y)              ← Gemeenschappelijke factor xy

d. 9x² – 121 = 3²x² – 11² 

= (3x – 11)(3x +11)           ← De regel a² – b² = (a – b)(a + b)

e. a³– a = a∙a² – a       ← Gemeenschappelijke factor a

= a(a² – 1²)

= a(a – 1)(a + 1)      ← De regel a² – b² = (a – b)(a + b)

f. 60abc – 12a³c = 12∙5∙a∙b∙c – 12∙a∙a²∙c 

= 12ac(5b – a²)    ← Gemeenschappelijke factor 12ac

Opgave 7. Ontbind in zoveel mogelijk factoren.

a. x² + 10x + 21

                    +3

                    +7            

   = (x + 3)( x + 7)     ← De Product-som-methode: 3 × 7 = 21 en 3 +7 = 10

b. x² + 10x – 24

                   +12

                     –2     

  = (x + 12)(x – 2)    ← De Product-som-methode: 12 × –2 = –24 en 12 +(–2) = 10

c. 3x² – 4x = 3∙x∙x – 4∙x

= x(3x – 4)  ← Gemeenschappelijke factor x

d. x² – 4x – 32

                  +4

                  –8     

  = (x + 4)(x – 8)   ← De Product-som-methode: 4 × –8 = –32 en 4 +(–8) = –8

e. x² – 8x – 48

                 –12

                  +4      

  = (x – 12)(x + 4)  ← De Product-som-methode: –12 × 4 = –48 en –12 + 4 = –8

f. x² + x – 56

               –7

               +8    

  = (x – 7)( x + 8)    ← De Product-som-methode: –7 × 8 = –56 en –7 + 8 = 1

g. 2x³ – 128x = 2∙x∙x² – 2∙64∙x

= 2x(x² – 64)       ← Gemeenschappelijke factor 2x

= 2x(x² – 8²) 

= 2x(x – 8)(x + 8)  ← De regel a² – b² = (a – b)(a + b)

h. 3x² – 6x –  9 = 3∙x² – 3∙2∙x – 3∙3

    = 3(x² – 2x – 3)    ← Gemeenschappelijke factor 3

                       –3

                      +1    

    = 3(x – 3)(x + 1)     ← De Product-som-methode: –3 × 1 = –3 en –3 + 1 = –2

i. x³ + 9x² – 22x = x∙x² + 9∙x∙x – 22∙x

     = x(x² + 9x – 22)        ← Gemeenschappelijke factor x

                           –2

                          +11  

       = x(x – 2)(x +11)   ← De Product-som-methode: –2 × 11 = –22 en –2 + 11 = 9

Opgave 11.

a.

→ "De coördinaten van de snijpunten met de x-as"

→ De x-as ligt altijd op y = 0 

→ De grafiek van y = x²– 2x –3 snijdt de grafiek van y = 0.

x²– 2x –3 = 0

           –3

           +1          

(x – 3)(x + 1) = 0       ← De Product-som-methode: –3× 1 = –3 en –3 + 1 = –2

x – 3 = 0 of x + 1 = 0    

x = 3 ∨ x = –1

A(–1 , 0) en B(3, 0)

b.

→ "De coördinaten van de snijpunten met de x-as"

→ De x-as ligt altijd op y = 0 

→ De grafiek van y = ⅓x² + x snijdt de grafiek van y = 0.

⅓x² + x = 0

      × 3 = × 3     

3×⅓x² + 3×x = 0×3 ← Vermenigvuldig beide zijden met 3

x² + 3x = 0

x∙x  +  3∙x = 0

x(x + 3) = 0          ← Gemeenschappelijke factor x

x = 0 of x +3 = 0

x = 0 ∨ x = –3

C(–3, 0) en O(0, 0)

Opgave 13.

             

→ De grafiek van y = x² – 5 snijdt de grafiek van y = 4x + 7."

x² – 5 =  4x + 7

–4x – 7 = –4x – 7    

x² – 4x – 12 = 0             ← Maak het rechterlid nul.

              –6

              +2          

(x – 6)(x + 2) = 0            ←De Product-som-methode: –6× 2 = –12 en –6 + 2 = –4

x – 6 = 0 of x + 2 = 0

x = 6 ∨ x = –2

→ Vind de y-coördinaten van de snijpunten door de x-coördinaten in de formule y = 4x + 7 in te vullen.

① x = 6 → y = 4(6) + 7 = 24 + 7 = 31

② x = –2 → y = 4(–2) + 7 = –8 + 7 = – 1

De coördinaten van de snijpunten zijn (6, 31) en (–2, –1).

Opgave 15.

x + 14 = 0 of x – 4 = 0

x = –14 ∨ x = 4   → x = 4, want x is een lengte. x is 4m.

Gemengde opgaven (8 t/m 11) - H7 Kwadratische vergelijkingen - G&R 12de - VWO 2

     ( Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H7 Kwadratische vergelijkingen)

Gemengde Opgaven - deel 3

(Opgave 8 t/m 11)

Opgave 8.

Opgave 9.

Opgave 10.

a.

→ De grafiek y = x² – 4x en de grafiek y = 2x – 5 snijden elkaar in de punten A en B.

→ x² – 4x = 2x – 5

x² – 4x = 2x – 5

–2x + 5 = –2x + 5

x² – 6x + 5 = 0          ← Maak het rechterlid nul.

             –5

             –1       

(x – 5)(x – 1) = 0     ← De Product-som-methode: –5 × –1 = 5 en –5 + –1 = –6 

x – 5 of x – 1 = 0 → x = 5 of x = 1

→ Vul de x-coördinaten in in de formule y = 2x – 5 (of in de formule y = x² – 4x)

     ① x = 5  → y = 2∙(5) – 5 = 10 – 5 = 5 

     ② x =1   → y = 2∙(1) – 5 = 2 – 5 = –3 

→ Punt A ligt links van punt B. De x-coördinaat van punt A is kleiner dan de x-coördinaat van punt B.

→ A(1, –3) en B(5, 5)

b.

→ "De horizontale lijn door A snijdt de grafiek van y = x² – 4x ook nog in het punt C."

→ De coördinaten van punt A zijn (1, –3).

→ De horizontale lijn door A is y = –3.

→ De horizontale lijn y = –3 snijdt de grafiek y = x² – 4x.

→ –3 = x² – 4x

x² – 4x = –3

       +3 = +3       

x² – 4x + 3 = 0         ← Maak het rechterlid nul.

            –3

            –1                 

(x – 3)(x – 1) = 0      ← De Product-som-methode: –3 × –1 = 3 en –3 + (–1) = –4

 

x – 3 = 0 of x – 1 = 0  → x = 3 ∨ x = 1 

De x-coördinaat van punt C is 3

→ De lengte van het lijnstuk AC = 3 – 1 = 2

AC = 2 

Opgave 11.

→ De oppervlakte van het parallellogram PQRS is 36 cm².

→ De oppervlakte van de rechthoek ABCD is 10 × 6 = 60 cm².

→ De oppervlakte van de rechthoek ABCD  –  De oppervlakte van het parallellogram PQRS  =  De oppervlakte van de vier rechthoekige driehoeken (◺APS + ◺BQP + ◺CRQ + ◺DSR).

→  ◺APS = ◺CRQ en ◺BQP = ◺DSR

→ De oppervlakte van de rechthoekige driehoek ◺APS=◺CRQ =  ½ × x × (6 – x) = ½ x (6 – x)

→ De oppervlakte van de rechthoekige driehoek ◺BQP =◺DSR=   ½ × x × (10 – x) = ½ x(10 – x)

→ De oppervlakte van de vier rechthoekige driehoeken (◺APS + ◺BQP + ◺CRQ + ◺DSR)

= 2× (½ x (6 – x)) + 2×(½ x(10 – x)) = x(6 –x) + x(10 – x)

= 6x – x² + 10x – x² = 16x – 2x²

De oppervlakte van de rechthoek ABCD  –  De oppervlakte van het parallellogram PQRS  =  De oppervlakte van de vier rechthoekige driehoeken (◺APS + ◺BQP + ◺CRQ + ◺DSR).

→  60 – 36 = 16x – 2x²  ← De vergelijking om deze opgave op te lossen.

60 – 36 = 16x – 2x²

24 = 16x – 2x²

16x – 2x² = 24

        –24 = –24        

–2x² + 16x – 24 = 0          ← Maak het rechterlid nul.

–2∙x² – 8∙(–2)∙x –2∙12 = 0

–2(x² – 8x + 12) = 0

                    – 6

                     –2              

–2(x – 6)(x – 2) = 0       ← De Product-som-methode: –6 × –2 = 12 en –6 + (–2) = –8   

x – 6 = 0 of x – 2 = 0  → x = 6 ∨ x =2

De lengte van AD is 6 cm. → x moet kleiner zijn dan 6 cm.

→ x = 2 cm

Gemengde opgaven (5 t/m 7) - H7 Kwadratische vergelijkingen - G&R 12de - VWO 2

    ( Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H7 Kwadratische vergelijkingen)

Gemengde Opgaven - deel 2

(Opgave 5 t/m 7)

Opgave 5.

a.

Stap①: "De grafiek van y = ⅓x² – 2x snijdt de x-as in de punten O en P."

→ De x-as ligt altijd op y = 0 

→ ⅓x² – 2x = 0

Stap②: Vind x-coördinaten van de snijpunten O en P door de vergelijking ⅓x² – 2x = 0 op te lossen.

   ⅓x² – 2x = 0           ← Vermenigvuldig beide zijden met 3

            ×3 = ×3           

3×⅓x² – 3×2x = 3×0 

x² – 6x = 0          

x∙x – 6∙x = 0         
x(x – 6) = 0               ← Gemeenschappelijke factor x

x =0 of x – 6 = 0      → x = 0 ∨ x = 6

Stap③: Bereken de lengte van het lijnstuk OP.

 OP = 0 + 6 = 6

b.

Stap①: "De grafiek van y = x² – x – 6 snijdt de x-as in de punten Q en R."

→ De x-as ligt altijd op y = 0 

→ x² – x – 6 = 0

Stap②: Vind x-coördinaten van de snijpunten Q en R door de vergelijking x² – x – 6 = 0 op te lossen.

   x² – x – 6 = 0
              +2

              –3        

(x + 2)(x – 3) = 0           ← De Product-som-methode: 2 × –3 = –6 en 2 + (–3) = –1

  x + 2= 0 of  x – 3 = 0     → x = –2 of x = 3     

Stap③: Bereken de lengte van het lijnstuk QR.

    QR = 2 + 3 = 5

Opgave 6.

Stap①: "De inhoud van het doosje is 88 cm³"

→ Volume balk = lengte × breedte × hoogte 

→ (x + 3)∙(x)∙(1) = 88 cm³

Stap②: Los de vergelijking op 

(x + 3)∙(x)∙(1) = 88 

x² + 3x = 88

        –88 = –88

x² + 3x – 88 = 0                 ← Maak het rechterlid nul.

                 –8

                +11     

 (x – 8)(x +11) = 0           ← De Product-som-methode: –8 × 11 = –88 en –8 + 11 = 3

                                         

 x – 8 = 0 of x + 11 = 0   →  x = 8 ∨ x = –11  → x = 8, want x is een lengte.

Stap③: Bereken de afmetingen van het doosje.

lengte: x + 3 = 8 + 3 = 11 cm

breedte: 8 cm

hoogte: 1 cm

→ 11 bij 8 bij 1 cm

 

Opgave 7.
a. "Hoeveel meter is het wegdek boven het wateroppervlak?"

→ In figuur 7.21 zie je dat het wegdek ligt bij het laagste punt van de parabool van de draagkabel en op het laagste punt x = 0.

→ De formule van de parabool van de draagkabel is h = 0,00025x² + 40

→ h-waarde bij x = 0 in de formule is dezelfde als de afstand van het wegdek tot het wateroppervlak.

→ h = 0,00025(0)² +40 = 40

→ Het wegdek ligt 40m boven het wateroppervlak.

 

b. "De pylonen steken 162,5 meter boven het water uit."

→ h = 0,00025x² + 40

→ Vul 162,5 in op de plek h van de formule.

→ 162,5 = 0,00025x² + 40   ← De vergelijking die hoort bij de vraag.

→ Los deze vergelijking op.

162,5 = 0,00025x² + 40   

⁕Je mag een rekenmachine gebruiken voor deze vraag.

0,00025x² +40 = 162,5

                –40 = –40         ← Trek 40 af van beide zijden. 

    0,00025x²  = 122,5

     ÷ 0,00025 = ÷ 0,00025      ←Deel beide zijden door 0,00025

            1∙x²  = 122,5 ÷ 0,00025 

             x² = 490000 

x = √490000 = 700 of x = –√490000 = –700 

→ x = 700 ∨ x = –700

c. "Hoeveel meter staan de pylonen uit elkaar?"

→ 700 + 700 = 1400

→ 1400 m

d. "Actievoerders hebben 80 meter boven het wegdek een spandoek gespannen." 

→ Het spandoek is gespannen "80 meter boven het wegdek". 

→ De h-waarde waarop het spandoek is gespannen is  'de afstand van het wateroppervlak tot het  wegdek + de afstand van het wegdek tot de plek waarop het spandoek is gespannen', namelijk 40 + 80 = 120.

→De vergelijking is 120 = 0,00025x² + 40

→  120 = 0,00025x² + 40      ⁕Je mag een rekenmachine gebruiken voor deze vraag.

0,00025x² +40 = 120

0,00025x² +40 = 120

                –40 = –40         ← Trek 40 af van beide zijden. 

    0,00025x²  = 80

     ÷ 0,00025 = ÷ 0,00025      ←Deel beide zijden door 0,00025

            1∙x²  = 80 ÷ 0,00025 

             x² = 320000

x = √320000 of  x = –√320000

→ De vraag is hoe breed het spandoek is.

→ √320000 + √320000 ≈ 1131 m

Gemengde opgaven (1 t/m 4) - H7 Kwadratische vergelijkingen - G&R 12de - VWO 2

   ( Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H7 Kwadratische vergelijkingen)

Gemengde Opgaven - deel 1

(Opgave 1 t/m 4)

Opgave 1.

a.  5x² – 6x = 5∙x∙x – 6∙x   

                  = x(5x  – 6)       ←  Gemeenschappelijke factor x

b.  4x² – 24x + 20 = 4∙x² – 4∙6∙x + 4∙5   ←  Gemeenschappelijke factor 4

                             = 4(x² –6x + 5)

                                                 –5         

                                                 –1     

                             = 4(x – 5)(x – 1)         ← De Product-som-methode: –5×–1 =5 en –5 +(–1) = –6

c.  25x² – 49 = 5²x² – 7²               

                    = (5x – 7)(5x + 7)     ← De regel a² – b² = (a – b)(a + b)

d.  5ax – 25bx  = 5∙a∙x – 5∙5∙b∙x   

                         = 5x(a – 5b)         ←  Gemeenschappelijke factor 5 en x

e. 16x² + 4x = 4∙4∙x∙x + 4∙x       

                    = 4x(4x + 1)             ←  Gemeenschappelijke factor 4 en x

f. 8x³y + 4x²y² – 12xy³ = 4∙2∙x∙x²y + 4∙x∙x∙y∙y – 3∙4∙x∙y∙y²  

                                     = 4xy(2x² + xy – 3y²)          ←  Gemeenschappelijke factor  4, x en y

g.   x² – 3x + 2

                    –2       
                    –1         

    = (x – 2)(x – 1)          ← De Product-som-methode: –2 × –1 = 2 en –2 + (–1) = –3

h. 2x – x² = 2∙x – x∙x 

                = x(2 – x)       ←  Gemeenschappelijke factor x

i. x⁴ – x² = x²∙x² – x²            ←  Gemeenschappelijke factor  x²

              = x²(x² – 1²)           

              = x² (x – 1)(x +1)    ← De regel a² – b² = (a – b)(a + b)

Opgave 2.

a. 49x² – 70x + 25 = 7²x² – 2(7x)(5) + 5²    

                              = (7x – 5)²          ← De regel (a – b)² = a² – 2ab + b²

b. 3x² + 54x + 243 = 3∙x² + 3∙18∙x + 3∙81    

                               = 3(x² + 18x + 81)        ←  Gemeenschappelijke factor 3

                               = 3(x² + 2(9)(x) + 9²)     

                               = 3(x + 9)²                    ← De regel (a + b)² = a² + 2ab + b²

c. x⁴ – 10x² + 9 

                    –9             

                    –1         

     = (x² – 9)(x² – 1)           ← De Product-som-methode: –9 × –1 = 9 en –9 + (–1) = –10

     = (x² – 3²)(x² – 1²)           

     = (x – 3)(x + 3)(x – 1)(x + 1)     ← De regel a² – b² = (a – b)(a + b)

d. 4x⁴ – 24x² – 108 = 4∙x⁴ – 4∙6∙x² – 4∙27        

                               = 4(x⁴ – 6x² – 27)          ←  Gemeenschappelijke factor 4

                                                      3               

                                                    –9            

                                = 4(x² + 3)(x² – 9)         ← De Product-som-methode: 3 × –9 = –27 en 3 + (–9) = –6

                                = 4(x² + 3)(x² – 3²)          

                                = 4(x² + 3)(x – 3)(x +3)     ← De regel a² – b² = (a – b)(a + b)

e. 5x⁸ + 15x⁴ – 20 = 5∙x⁸ + 5∙3∙x⁴ – 5∙4         

                              = 5(x⁸ + 3x⁴ – 4)                ←  Gemeenschappelijke factor 5

                                                   +4                

                                                    –1     

                              = 5(x⁴ + 4)(x⁴ – 1)              ← De Product-som-methode: 4 × –1 = –4 en 4 + (–1) = 3

                             = 5(x⁴ + 4)((x²)² – 1²)                  

                             = 5(x⁴ + 4)(x² – 1)(x² + 1)       ← De regel a² – b² = (a – b)(a + b)

                             = 5(x⁴ + 4)(x² – 1²)(x² + 1)          

                            = 5(x⁴ + 4)(x – 1)(x + 1)(x² + 1)    ← De regel a² – b² = (a – b)(a + b)

f. 3x⁵ – 39x³ + 108x = 3∙x∙x⁴ – 3∙13∙x∙x² + 3∙36∙x   

                                 = 3x(x⁴ – 13x² + 36)            ←  Gemeenschappelijke factor 3

                                                           – 9           

                                                           – 4      

                                  = 3x(x² – 9)(x² – 4)             ← De Product-som-methode: –9 × –4 = 36 en –9 + (–4) = –13

                                  = 3x(x² – 3²)(x² – 2²)               

                                  = 3x(x – 3)(x + 3)(x – 2)(x + 2)    ← De regel a² – b² = (a – b)(a + b)

Opgave 3.

a. x² – 81 = 0 

     x² – 9² =0              

    (x – 9)(x + 9) = 0          ← De regel a² – b² = (a – b)(a + b)

     x – 9 = 0 of x + 9 = 0    → x = 9 ∨ x = – 9

b. x² + 81 = 0        ← Geen gemeenschappelijke factor

     x² = – 81        → Geen oplossing, want een kwadraat is niet negatief.

 

c. x² +81x = 0      

      x∙x + 81∙x = 0

      x(x + 81) = 0         ← Gemeenschappelijke factor 

      x =0 of x  + 81 = 0    →  x =0 ∨ x = – 81

d. x² + 81x + 80 = 0

                     +80             

                      +1        

     (x + 80)(x + 1) = 0         ← De Product-som-methode: 80 × 1 = 80 en 80 + 1 = 81

     x + 80 = 0 of x + 1 = 0   →   x = –80  ∨ x = – 1                  

e. x² – 80x – 81 = 0

                   – 81             

                     +1        

    (x – 81)(x + 1) = 0          ← De Product-som-methode: –81 × 1 = –81 en –81 + 1 = –80

    x – 81 = 0 of x + 1 = 0    →  x = 81  ∨  x = – 1    

f. x²  – 18x   +  81 = 0

             ↓           ↓

     – 2∙(x)∙(9)     9²        ← De regel (a – b)² = a² – 2ab + b²

  

 (x – 9)²  = 0        →  x = 9

g. (x +1)(x – 81) = 0   → x = – 1  ∨ x = 81

h. x(x +81) = 0         → x = 0   ∨ x = – 81

i. x² – 18x +18 = 81              

                 – 81 = – 81        

    x² – 18x – 63 = 0              ← Maak het rechterlid nul.

                –21                       

                 +3           

   (x – 21)(x +3) = 0               ← De Product-som-methode: –21 × 3 = –63 en –21 + 3 = –18

    x – 21 = 0 of x +3 = 0      → x =21 ∨ x = –3

Opgave 4.

a. (2x – 1)(6x + 3) = 0

     2x – 1 = 0 of  6x + 3 = 0   →  x = ½ ∨ x = – ½

b. 3a² + 1 = 28          

         – 28 = –28    

   3a² – 27 = 0          ← Maak het rechterlid nul.

   3∙a² – 3∙9 = 0         ← Gemeenschappelijke factor 3

   3(a² – 9) = 0

   3(a² – 3²) = 0          

   3(a – 3)(a + 3) = 0     ← De regel  a²– b² = (a + b)(a – b)

   a – 3 of a +3 = 0     → a =3 ∨ a = –3

c. 5a² – 20a = 0

    5∙a∙a – 4∙5∙a = 0     

    5a(a – 4) = 0           ← Gemeenschappelijke factor 5 en a

    a = 0 of a – 4 = 0    → a =0 ∨ a = 4

d. p² + 21 = 10p – 4            

    –10p +4 = –10p +4

     p² –10p + 25 = 0            ← Maak het rechterlid nul.

      p² – 2∙(p)∙(5) + 5² =0         

     (p – 5)² = 0                    ← De regel (a – b)² = a² – 2ab + b²

      p – 5 = 0      → p = 5

e. 144 – 49q² = 0

          × (–1) = ×(–1)           

     –144  + 49q² = 0              ←  Vermenigvuldig beide zijden met –1.    ※ 0×(–1) = 0

      49q² – 144 = 0

      7²q²  – 12² = 0                 

      (7q – 12)(7q + 12) = 0      ← De regel a²– b² = (a + b)(a – b)

      7q – 12 =0 of 7q + 12 = 0   →  q = 1⁵∕₇ ∨ q = –1⁵∕₇

f.  p²   + 14p       = 32              

                   –32  = –32      

    p² + 14p – 32 = 0               ← Maak het rechterlid nul.

                    +16                      

                     – 2               

    (p + 16)(p – 2) = 0             ← De Product-som-methode: 16 × –2 = –32 en 16 + (–2) = 14

     p + 16 = 0 of p – 2 = 0      →  p = –16 ∨ p = 2

g. x² + 40 = 3x + 50               

     –3x – 50 = –3x – 50   

    x² – 3x – 10 = 0               ← Maak het rechterlid nul.

                  +2                       

                  –5                    

    (x + 2)(x – 5) = 0           ← De Product-som-methode: 2 × –5 = –10 en 2 + (–5) = –3

    x +2 = 0 of x – 5 = 0      →  x = –2 ∨ x = 5

h. a² = 3a + 4                      

     –3a – 4 = –3a – 4   

     a² –3a – 4 = 0                ← Maak het rechterlid nul.

                 –4                      

                 +1                

    (a – 4)(a + 1) = 0           ← De Product-som-methode: –4 × 1 = –4 en –4 + 1 = –3

     a – 4 = 0 of a + 1 = 0     → a =4 ∨ a = –1

i. 0,1(x– 4)² = 40               

              ×10 = ×10  

      (x – 4)² = 400                   ← Vermenigvuldig beide zijden met 10.              

      – 400 = – 400    

     (x – 4)² – 400 = 0                 ← Maak het rechterlid nul.

     x² – 2∙(4)∙(x) +4² – 400 = 0

     x² – 8x – 384 = 0

                  –24                           

                   +16                                            

                                        ← 2⁴ = 16

                                                                           – 24 + 16 = – 8

      (x – 24)(x + 16) = 0         ← De Product-som-methode: –24 × 16 = –384 en –24 + 16 = –8

      x – 24 = 0 of x + 16 = 0    →   x = 24 ∨  x = –16

Kwadratische vergelijkingen toepassen (H7.6) - G&R 12de - VWO 2

  ( Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H7 Kwadratische vergelijkingen)

H7.6 Kwadratische vergelijkingen toepassen

(Opgave 73, 74, 75, 76)

Opgave 73. 

Stap①: Uit de opgave: 

⁕"grasveld van 12 bij 4 meter",                                

⁕"overal even brede border",                                  

⁕"de breedte van de border is x meter":

Stap②: Uit de opgave:

 ⁕"de oppervlakte van de border is 80m²":

{(2x + 4) × (2x + 12)} – (4 × 12) = 80

4x² + 32x + 48 – 48 = 80

4x² + 32x = 80                

         – 80 = –80         

4x² + 32x – 80 = 0          ← Maak het rechterlid nul.

4∙x² + 4∙8∙x – 4∙20 = 0    ← Breng gemeenschappelijke factor 4 buiten haakjes.

4(x² + 8x – 20) = 0

                   –2                 

                  +10                

4(x – 2)(x + 10) = 0         ← De product-som-methode: –2 × 10 = 0 en –2 + 10 = 8

Stap ③: x – 2 = 0 of x + 10 = 0  → x = 2 ∨ x = –10

                                                    → x is een niet-negatief getal, want x is een lengte.

                                                    → x = 2 

Antwoord: De breedte van de border x is 2 meter.

Opgave 74.

stap①: Uit de opgave:

⁕ "De rechtstreekse afstand van Thomas' huis naar school is 10km.',

⁕ "De afstand van Marius naar school is x km.',

⁕ "De route maakt bij Marius een rechte hoek." ,

⁕  "De afstand van Thomas + Marius + x is 4km langer dan 10k

Stap②: De stelling van Pythagoras 

             → In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de lengtes van de rechthoekzijden gelijk aan het kwadraat van de lengte van de schuine zijde.

De vergelijking bij de situatie van de opgave → (14 – x)² +  x² = 10²

Stap③:  

(14 – x)² +  x² = 10²        ← Gebruik (a – b)² = a² – 2ab + b²

14² – 2∙(14)∙(x) + x² + x² = 10²

196 – 28x + 2x² = 100

2x² – 28x + 196 = 100     

                –100  = –100  

2x² – 28x + 96  = 0           ← Maak het rechterlid nul.

2∙x² – 2∙14∙x + 2∙48 = 0   ← Breng gemeenschappelijke factor 2 buiten haakjes.

2(x² – 14x + 48) = 0 

                     –6                

                     –8               

2(x – 6)(x – 8) = 0         ← De Product-som-methode: –6 × –8 = 48 en –6 + (–8) = –14

Stap④:  x – 6 = 0 of x – 8 = 0  → x = 6 ∨ x = 8

                                                  → x is een niet-negatief getal, want x is een afstand. 

                                                      Allebei is mogelijk.

                                                  → x is 6km of 8km.

                        

Antwoord: ①De vergelijking → (14 – x)² +  x² = 10²

                   ② x → 6 km of 8 km

Opgave 75.

Stap①: Uit de opgave   ⁕ "Een rechthoekig terras",

                                       ⁕ "AB = CD = x",

                             ⁕ " Hek langs drie kanten van het terras = 36 m"

Stap②: "Oppervlakte van het rechthoekige terras  = 130 m² " 

→ x × (36 – 2x) = 130

36x – 2x² = 130

–2x² + 36x = 130           

        –130 = –130       

–2x² + 36x – 130 = 0                ← Maak het rechterlid nul.

–2∙x² + (–2)∙(–18)∙x +(–2)∙(65) = 0   ← Breng gemeenschappelijke factor –2 buiten haakjes.

–2(x² – 18x + 65) = 0

                      –5                   

                      –13                  

–2(x – 5)(x – 13) = 0                ← De Product-som-methode: –5 × –13 = 65 en –5 + (–13) = –18

Stap③: x – 5 = 0 of x – 13 = 0  → x = 5 ∨ x = 13

Stap④:  CB = 36 – 2x

• Als x = 5    → CB = 36 – 2∙5 = 36 – 10 = 26
• Als x = 13  → CB = 36 – 2∙13 = 36 – 26 = 10

Antwoord: 5 bij 26 m of 13 bij 10 m   

Opgave 76.
Stap①: 

Stap②: Gebruik de stelling van Pythagoras 

→  AC² + AB² = BC²

→  (x + 7)² + x²  = (2x + 3)²                ← Gebruik (a +b)² = a² + 2ab + b²

x² + 2∙(7)∙(x) + 7² + x² = 2²x² + 2∙(2x)∙(3) + 3²

x² + 14x + 49 + x² = 4x² + 12x + 9

2x² + 14x + 49       = 4x² + 12x + 9     

–2x² –14x – 49      =  –2x² –14x – 49

                            0 =  2x² – 2x – 40        ← Maak het linkerlid nul.

2x² – 2x – 40 = 0

2∙x² – 2∙x – 2∙(20) = 0               ← Breng gemeenschappelijke factor 2 buiten haakjes.

2(x² – x – 20) = 0

                 +4                             

                 –5                  

   2(x + 4)(x – 5) = 0              ← De product-som-methode: 4 × (–5) = –20 en 4 + (–5) = –1

Stap③: x + 4 = 0 of x – 5 = 0 → x = –4 ∨ x = 5

→    x is een niet-negatief getal, want x is een lengte.

→ x = 5

Antwoord: x = 5