Kwadratische vergelijkingen toepassen (H7.6) - G&R 12de - VWO 2

  ( Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H7 Kwadratische vergelijkingen)

H7.6 Kwadratische vergelijkingen toepassen

(Opgave 73, 74, 75, 76)

Opgave 73. 

Stap①: Uit de opgave: 

⁕"grasveld van 12 bij 4 meter",                                

⁕"overal even brede border",                                  

⁕"de breedte van de border is x meter":

Stap②: Uit de opgave:

 ⁕"de oppervlakte van de border is 80m²":

{(2x + 4) × (2x + 12)} – (4 × 12) = 80

4x² + 32x + 48 – 48 = 80

4x² + 32x = 80                

         – 80 = –80         

4x² + 32x – 80 = 0          ← Maak het rechterlid nul.

4∙x² + 4∙8∙x – 4∙20 = 0    ← Breng gemeenschappelijke factor 4 buiten haakjes.

4(x² + 8x – 20) = 0

                   –2                 

                  +10                

4(x – 2)(x + 10) = 0         ← De product-som-methode: –2 × 10 = 0 en –2 + 10 = 8

Stap ③: x – 2 = 0 of x + 10 = 0  → x = 2 ∨ x = –10

                                                    → x is een niet-negatief getal, want x is een lengte.

                                                    → x = 2 

Antwoord: De breedte van de border x is 2 meter.

Opgave 74.

stap①: Uit de opgave:

⁕ "De rechtstreekse afstand van Thomas' huis naar school is 10km.',

⁕ "De afstand van Marius naar school is x km.',

⁕ "De route maakt bij Marius een rechte hoek." ,

⁕  "De afstand van Thomas + Marius + x is 4km langer dan 10k

Stap②: De stelling van Pythagoras 

             → In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de lengtes van de rechthoekzijden gelijk aan het kwadraat van de lengte van de schuine zijde.

De vergelijking bij de situatie van de opgave → (14 – x)² +  x² = 10²

Stap③:  

(14 – x)² +  x² = 10²        ← Gebruik (a – b)² = a² – 2ab + b²

14² – 2∙(14)∙(x) + x² + x² = 10²

196 – 28x + 2x² = 100

2x² – 28x + 196 = 100     

                –100  = –100  

2x² – 28x + 96  = 0           ← Maak het rechterlid nul.

2∙x² – 2∙14∙x + 2∙48 = 0   ← Breng gemeenschappelijke factor 2 buiten haakjes.

2(x² – 14x + 48) = 0 

                     –6                

                     –8               

2(x – 6)(x – 8) = 0         ← De Product-som-methode: –6 × –8 = 48 en –6 + (–8) = –14

Stap④:  x – 6 = 0 of x – 8 = 0  → x = 6 ∨ x = 8

                                                  → x is een niet-negatief getal, want x is een afstand. 

                                                      Allebei is mogelijk.

                                                  → x is 6km of 8km.

                        

Antwoord: ①De vergelijking → (14 – x)² +  x² = 10²

                   ② x → 6 km of 8 km

Opgave 75.

Stap①: Uit de opgave   ⁕ "Een rechthoekig terras",

                                       ⁕ "AB = CD = x",

                             ⁕ " Hek langs drie kanten van het terras = 36 m"

Stap②: "Oppervlakte van het rechthoekige terras  = 130 m² " 

→ x × (36 – 2x) = 130

36x – 2x² = 130

–2x² + 36x = 130           

        –130 = –130       

–2x² + 36x – 130 = 0                ← Maak het rechterlid nul.

–2∙x² + (–2)∙(–18)∙x +(–2)∙(65) = 0   ← Breng gemeenschappelijke factor –2 buiten haakjes.

–2(x² – 18x + 65) = 0

                      –5                   

                      –13                  

–2(x – 5)(x – 13) = 0                ← De Product-som-methode: –5 × –13 = 65 en –5 + (–13) = –18

Stap③: x – 5 = 0 of x – 13 = 0  → x = 5 ∨ x = 13

Stap④:  CB = 36 – 2x

• Als x = 5    → CB = 36 – 2∙5 = 36 – 10 = 26
• Als x = 13  → CB = 36 – 2∙13 = 36 – 26 = 10

Antwoord: 5 bij 26 m of 13 bij 10 m   

Opgave 76.
Stap①: 

Stap②: Gebruik de stelling van Pythagoras 

→  AC² + AB² = BC²

→  (x + 7)² + x²  = (2x + 3)²                ← Gebruik (a +b)² = a² + 2ab + b²

x² + 2∙(7)∙(x) + 7² + x² = 2²x² + 2∙(2x)∙(3) + 3²

x² + 14x + 49 + x² = 4x² + 12x + 9

2x² + 14x + 49       = 4x² + 12x + 9     

–2x² –14x – 49      =  –2x² –14x – 49

                            0 =  2x² – 2x – 40        ← Maak het linkerlid nul.

2x² – 2x – 40 = 0

2∙x² – 2∙x – 2∙(20) = 0               ← Breng gemeenschappelijke factor 2 buiten haakjes.

2(x² – x – 20) = 0

                 +4                             

                 –5                  

   2(x + 4)(x – 5) = 0              ← De product-som-methode: 4 × (–5) = –20 en 4 + (–5) = –1

Stap③: x + 4 = 0 of x – 5 = 0 → x = –4 ∨ x = 5

→    x is een niet-negatief getal, want x is een lengte.

→ x = 5

Antwoord: x = 5