Kwadratische vergelijkingen oplossen (H7.5) - G&R 12de - VWO 2

  ( Wiskunde - Getal en Ruimte 12de editie, VWO 2 , H7 Kwadratische vergelijkingen)

H7.5 Kwadratische vergelijkingen oplossen

(Opgave 58, 59, 62, 63, 68)

Opgave 58.

Opgave 59.

Opgave 62.

a.

Stap①: 'De grafieken snijden elkaar in de punten A en B'   →  x² – 3x = 2x – 4

Stap②:  x² – 3x = 2x – 4                 

              –2x + 4  =  –2x + 4         

               x² – 5x + 4 = 0                ← Maak het rechterlid nul.

Stap③: x² – 5x + 4 = 0  

                           –4            

                           –1               

             (x – 4)(x – 1) = 0           ← De Product-som-methode: –4 × –1 = 4 en –4 + (–1) = –5 

Stap④: x – 4 = 0 of x – 1 = 0  → x = 4 ∨ x = 1

Stap⑤:  y-coördinaat bij x = 4  → y = 2x – 4 

                                                           = 2(4) – 4 

                                                           = 8 – 4 = 4       → B(4, 4)

              y-coördinaat bij x = 1 → y = 2x – 4

                                                          = 2(1) – 4

                                                         = 2 – 4 = – 2      → A(1 , –2)
Antwoord: A(1 , –2) en B(4, 4)

b.

Stap①: 'De horizontale lijn op hoogte 10 snijdt de grafiek van y = x² – 3x.'  →  x² – 3x = 10 

                      

            (De horizontale lijn op hoogte 10    → y = 10)

Stap②:  x² – 3x       = 10           

                         –10 = –10       

            x² – 3x – 10  = 0             ← Maak het rechterlid nul.

Stap③: x² – 3x – 10  = 0  

                           –5                  

                           +2               

   (x – 5 )(x + 2) = 0         ← De Product-som-methode: –5 × 2 = –10 en –5 + 2 = –3

Stap④: x – 5 = 0 of x + 2 = 0 → x = 5 ∨ x = –2

Stap⑤: y-coördinaat is altijd 10, want y = 10 → C(–2, 10) en D(5, 10)

Stap⑥: Het lijnstuk CD is parallel aan de x-as.   →  CD = 2 + 5 = 7

 

     Antwoord: CD = 7

Opgave 63.

Stap①: 'De grafieken van y = x² + 2x en y = ax + 5 snijden elkaar.'  →  x² +2x = ax + 5

Stap②: 'De x-coördinaat van het snijpunt A is 1.'   

→ Vul de x-waarde 1 in  de formule x² +2x = ax + 5 in ,  

              x² +2x = ax + 5  → (1)² + 2(1) = a(1) + 5

                                                           3 =  a + 5

                                                           a = –2

Stap③: Los de vergelijking x² +2x = ax + 5 op. ← a = –2

             x² +2x = ax + 5

             x² +2x = –2x + 5     

             2x – 5 = 2x – 5     

           x² + 4x – 5 = 0            ← Maak het rechterlid nul.

Stap④:   x² + 4x – 5 = 0  

                            –1            

                             5            

             (x – 1)(x + 5) = 0      ← De Product-som-methode: –1 × 5 = –5 en –1 + 5 = 4

Stap⑤: x – 1 = 0 of x + 5 = 0  → x = 1 ∨ x = –5 → De x-coördinaat van B is –5, want de x-coördinaat van A is 1.

Stap⑥: Vul de x-coördinaat van B, –5, in de formule y = x² + 2x (of in de formule y = –2x + 5) in.

           →  y = (–5)² + 2(–5) =  25 – 10 = 15

               

Antwoord: B(–5, 15)

Opgave 68.

a.

(x+1)² + (x + 3)² = 34    

x² +2(1)(x) + 1² + x² + 2(3)(x) + 3²  =34

x² + 2x + 1 + x² + 6 x + 9 = 34 

2x² + 8x + 10 = 34            

              – 34 = –34       

2x² + 8x – 24 = 0               ← Maak het rechterlid nul.

2∙x² +2∙4∙x –2∙12 = 0        ← Breng gemeenschappelijke factor 2 buiten haakjes.

2(x² + 4x – 12) = 0

                   6                          

                  –2                

2( x + 6)( x – 2) = 0           ← De product-som-methode: 6 × (–2) = –12 en 6 + (–2) = 4  

x + 6 of x – 2 = 0   →  x = –6 ∨ x = 2

b.

(2x +3)² = 4x + 69 

2²x² + 2(2x)(3) + 3² = 4x + 69

4x² + 12x + 9 = 4x + 69         

        –4x – 69 = –4x – 69            

4x² + 8x – 60 = 0                ← Maak het rechterlid nul.

4∙x² + 2∙4∙x – 4∙15 = 0       ← Breng gemeenschappelijke factor 4 buiten haakjes.

4(x² + 2x – 15) = 0

                  –3                    

                  +5                     

4(x – 3)((x + 5) = 0           ← De product-som-methode: –3 × 5 = –15 en –3 + 5 = 2 

x – 3 = 0 of x + 5 = 6     → x = 3 ∨ x = –5

c.

10x² – 390x = 400                

            – 400 = – 400    

10x² – 390x – 400 = 0            ← Maak het rechterlid nul.

10∙x² – 10∙39∙x – 10∙40 = 0    ← Breng gemeenschappelijke factor 4 buiten haakjes.

10(x² – 39x – 40) = 0

                      –40                    

                       +1               

10(x – 40)(x + 1) = 0              ← De product-som-methode: –40 × 1 = –40 en –40 + 1 = –39

x – 40 = 0 of x + 1 = 0    → x = 40 ∨ x = –1

d.

½x(x – 4) = 1½x

½x(x – 4) = ³/₂ x     ← Zet de breuk om in een natuurlijk getal, door beide zijden met 2 te vermenigvuldigen.  

         × 2 = × 2   

x(x – 4) = 3x

x² – 4x = 3x              

      –3x = –3x   

x² – 7x = 0            ← Maak het rechterlid nul.

x∙x – 7∙x = 0         ← Breng gemeenschappelijke factor x buiten haakjes.

x(x – 7) = 0 

x = 0 of x – 7 = 0   →  x = 0 ∨ x = 7